Question

6．若函數(shù)f（x）=x³-ax²+4在（0，2）內(nèi)單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是[3，+∞）．

Answer 1

分析 對a進行討論，判斷f（x）的單調(diào)性求出f（x）的減區(qū)間，令（0，2）為減區(qū)間的子集即可得出a的范圍．

解答 解：f′（x）=3x²-2ax，
令f′（x）=0得x=0或x=$\frac{2a}{3}$，
若$\frac{2a}{3}$≤0，即a≤0，則當x＞0時，f′（x）＞0，f（x）在（0，2）上為增函數(shù)，不符合題意；
若$\frac{2a}{3}＞0$，即a＞0，則當0$＜x＜\frac{2a}{3}$時，f′（x）＜0，當x$＞\frac{2a}{3}$時，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，$\frac{2a}{3}$）上單調(diào)遞減，在（$\frac{2a}{3}$，+∞）上低調(diào)遞增，
∵f（x）在（0，2）內(nèi)單調(diào)遞減，
∴2≤$\frac{2a}{3}$，解得a≥3．
故答案為：[3，+∞）．

點評 本題考查了導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關系，屬于中檔題．