如圖，正方形ADEF與梯形ABCD所在平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=
1
2
CD=2，點M在線段EC上且不與E，C重合．
（1）當(dāng)點M是EC中點時，求證：BM∥平面ADEF；
（2）當(dāng)EM=2MC時，求平面BDM與平面ABF所成銳二面角的余弦值．
考點：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定
專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角
分析：（1）取DE中點N，連接MN，AN，由三角形中位線定理，結(jié)合已知中AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，易得四邊形ABMN為平行四邊形，所以BM∥AN，再由線面平面的判定定理，可得BM∥平面ADEF；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示點與向量，利用EM=2MC，求出平面BDM的法向量、平面ABF的法向量，利用向量的夾角公式，即可求平面BDM與平面ABF所成銳二面角的余弦值．
解答： 證明：（1）取DE中點N，連接MN，AN
在△EDC中，M、N分別為EC，ED的中點，所以MN∥CD，且MN=
1
2
CD．
由已知AB∥CD，AB=
1
2
CD，
所以MN∥AB，且MN=AB．
所以四邊形ABMN為平行四邊形，所以BM∥AN
又因為AN?平面ADEF，且BM?平面ADEF，
所以BM∥平面ADEF；
解：（Ⅱ）以直線DA、DC、DE分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
∵AB=AD=
1
2
CD=2，
則A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，4，0），E（0，0，2），

則∵EM=2MC，
∴
CM
=
1
3
CE
=（0，-
4
3
，
2
3
），
又∵
DB
=（2，2，0），
DM
=
DC
+
CM
=（0，
8
3
，
2
3
），
設(shè)平面BDM的法向量
n1
=（x，y，z），
則
n1
•
DB
=0
n1
•
DM
=0
，
即
2x+2y=0
8
3
y+
2
3
z=0
，
∴令y=-1，取
n1
=（1，-1，4），
∵平面ABF的法向量
n2
=（1，0，0），
∴cos＜
n1
，
n2
＞=
1
1•
18
=
2
6
，
∴平面BDM與平面ABF所成銳二面角的余弦值為
2
6
．
點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，直線與平面平行的判定，熟練掌握利用向量知識解決立體幾何問題是解答本題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

下列3個命題中：
①α∈（0，
π
2
）時，sinα+cosα＞1；
②α∈（0，
π
4
）時，sinα＜cosα；
③α∈（
5π
4
，
3π
2
）時，sinα＞cosα．
其中判斷正確的序號是
 
（將正確的都填上）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點與拋物線C2：y2=4x的焦點F重合，橢圓C1與拋物線C2在第一象限的交點為P，|PF|=
5
3
．
（Ⅰ）求橢圓C1的方程；
（Ⅱ）若過點A（-1，0）的直線與橢圓C1相交于M，N兩點，求使
FM
+
FN
=
FR
成立的動點R的軌跡方程；
（Ⅲ）若點R滿足條件（Ⅱ），點T是圓（x-1）2+y2=1上的動點，求R．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，一個棱長為2的正四面體ABCD的兩個頂點A，B分別在一個直角（∠EOF）的兩邊OE，OF上運動，M是棱CD的中點，設(shè)點M與O點的距離為d，則d的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知圓C1：x2+（y-1）2=1，拋物線C2的頂點在坐標(biāo)原點，焦點F為圓C1的圓心
（1）已知直線l的傾斜角為
π
4
，且與圓C1相切，求直線l的方程；
（2）過點F的直線m與曲線C1，C2交于四個點，依次為A，B，C，D求|AC|•|BD|的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q為AD的中點，M是棱PC上的點，PA=PD=2，BC=
1
2
AD=1，CD=
3
．        
（Ⅰ） 求證：平面PQB⊥平面PAD；
（Ⅱ）若二面角M-BQ-C為30°，設(shè)PM=tMC，試確定t的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=
1
2
AB，M是PB的中點
（Ⅰ）求直線AC與直線PB所成的角的余弦值；
（Ⅱ）求直線AB與面ACM所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知B（-1，1）是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上一點，且點B到橢圓兩個焦點的距離之和為4．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)A為橢圓的左頂點，直線AB交y軸于點C，過C作直線l交橢圓于D、E兩點，問：是否存在直線l，使得△CBD與△CAE的面積之比為1：7，若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=log
1
2
[x2-2(2a-1)x+8]（a∈R）．
（1）若使函數(shù)f（x）在[a，+∞）上為減函數(shù)，求a的取值范圍；
（2）當(dāng)a=
3
4
時，求y=f[sin（2x-
π
3
）]，x∈[
π
12
，
π
2
]的值域．

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同步練習(xí)冊答案