Question

已知橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)與拋物線C₂：y²=4x的焦點(diǎn)F重合，橢圓C₁與拋物線C₂在第一象限的交點(diǎn)為P，|PF|=

5

3

．
（Ⅰ）求橢圓C₁的方程；
（Ⅱ）若過(guò)點(diǎn)A（-1，0）的直線與橢圓C₁相交于M，N兩點(diǎn)，求使

FM

+

FN

=

FR

成立的動(dòng)點(diǎn)R的軌跡方程；
（Ⅲ）若點(diǎn)R滿足條件（Ⅱ），點(diǎn)T是圓（x-1）²+y²=1上的動(dòng)點(diǎn)，求R．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：計(jì)算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）方法一、運(yùn)用拋物線的定義求得P的坐標(biāo)，再代入橢圓方程，由a，b，c的關(guān)系，即可得到；
方法二、設(shè)出P的坐標(biāo)，列出方程組，解得P的坐標(biāo)，再代入橢圓方程，結(jié)合a，b，c的關(guān)系，即可得到；
（Ⅱ）方法一、運(yùn)用點(diǎn)差法，結(jié)合向量的加法和四點(diǎn)共線的知識(shí)，即可求得R的軌跡方程；
方法二、設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理及向量的加法，即可得到所求軌跡方程；
（Ⅲ）求出R的橫坐標(biāo)的范圍，再由兩點(diǎn)的距離公式求出RF的最大值，即可得到R的坐標(biāo)．

解答： （Ⅰ）解法1：拋物線C2：y2=4x的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1，0），準(zhǔn)線為x=-1，
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x₀，y₀），依據(jù)拋物線的定義，由|PF|=

5

3

，得1+x₀=

5

3

，解得x0=

2

3

．
∵點(diǎn)P在拋物線C₂上，且在第一象限，
∴

y

2 0

=4x0=4×

2

3

，解得y0=

2 6

3

．∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(

2

3

，

2 6

3

)．
∵點(diǎn)P在橢圓C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1上，∴

4

9a2

+

8

3b2

=1．
又c=1，且a²=b²+c²=b²+1，解得a²=4，b²=3．
∴橢圓C₁的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
解法2：拋物線C2：y2=4x的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1，0），
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x₀，y₀），x₀＞0，y₀＞0．
∵|PF|=

5

3

，
∴(x0-1)2+

y

2 0

=

25

9

．         ①
∵點(diǎn)P在拋物線C2：y2=4x上，
∴

y

2 0

=4x0．                    ②
解①②得x0=

2

3

，y0=

2 6

3

．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(

2

3

，

2 6

3

)．
∵點(diǎn)P在橢圓C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1上，∴

4

9a2

+

8

3b2

=1．
又c=1，且a²=b²+c²=b²+1，解得a²=4，b²=3
∴橢圓C₁的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）解法1：設(shè)點(diǎn)M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）、R（x，y），
則

FM

=(x1-1，y1)，

FN

=(x2-1，y2)，

FR

=(x-1，y)．
∴

FM

+

FN

=(x1+x2-2，y1+y2)．
∵

FM

+

FN

=

FR

，
∴x₁+x₂-2=x-1，y₁+y₂=y．                   ①
∵M(jìn)、N在橢圓C₁上，∴

x 2 1

4

+

y 2 1

3

=1，

x 2 2

4

+

y 2 2

3

=1．
上面兩式相減得

(x1+x2)(x1-x2)

4

+

(y1+y2)(y1-y2)

3

=0．②
把①式代入②式得

(x+1)(x1-x2)

4

+

y(y1-y2)

3

=0．
當(dāng)x₁≠x₂時(shí)，得

y1-y2

x1-x2

=-

3(x+1)

4y

．                   ③
設(shè)FR的中點(diǎn)為Q，則Q的坐標(biāo)為(

x+1

2

，

y

2

)．
∵M(jìn)、N、Q、A四點(diǎn)共線，
∴k_MN=k_AQ，即

y1-y2

x1-x2

=

y 2

x+1 2 +1

=

y

x+3

．           ④
把④式代入③式，得

y

x+3

=-

3(x+1)

4y

，
化簡(jiǎn)得4y²+3（x²+4x+3）=0．
當(dāng)x₁=x₂時(shí)，可得點(diǎn)R的坐標(biāo)為（-3，0），
經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)R（-3，0）在曲線4y²+3（x²+4x+3）=0上．
∴動(dòng)點(diǎn)R的軌跡方程為4y²+3（x²+4x+3）=0．
解法2：當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí)，設(shè)直線MN的方程為y=k（x+1），
聯(lián)立橢圓方程，消去y，得（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0．
設(shè)點(diǎn)M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）、R（x，y），
則x1+x2=-

8k2

3+4k2

，y1+y2=k(x1+1)+k(x2+1)=k(x1+x2+2)=

6k

3+4k2

．
∵

FM

=(x1-1，y1)，

FN

=(x2-1，y2)，

FR

=(x-1，y)．
∴

FM

+

FN

=(x1+x2-2，y1+y2)．
∵

FM

+

FN

=

FR

，
∴x₁+x₂-2=x-1，y₁+y₂=y．
∴x+1=x1+x2=-

8k2

3+4k2

，①y=

6k

3+4k2

．                      ②
①÷②得k=-

3(x+1)

4y

，③
把③代入②化簡(jiǎn)得4y²+3（x²+4x+3）=0．  （*）
當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線MN的方程為x=-1，
依題意，可得點(diǎn)R的坐標(biāo)為（-3，0），
經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)R（-3，0）在曲線4y²+3（x²+4x+3）=0上．
∴動(dòng)點(diǎn)R的軌跡方程為4y²+3（x²+4x+3）=0．
（Ⅲ）解：由（2）知點(diǎn)R（x，y）的坐標(biāo)滿足4y²+3（x²+4x+3）=0，
即4y²=-3（x²+4x+3），
由y²≥0，得-3（x²+4x+3）≥0，解得-3≤x≤-1．
∵圓（x-1）²+y²=1的圓心為F（1，0），半徑r=1，
∴|RF|=

(x-1)2+y2

=

(x-1)2- 3 4 (x2+4x+3)

=

1

2

(x-10)2-105

．
∴當(dāng)x=-3時(shí)，|RF|_max=4，
此時(shí)，|RT|_max=4+1=5，點(diǎn)R（-3，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓、拋物線的方程和性質(zhì)及定義，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，消去未知數(shù)，運(yùn)用韋達(dá)定理，考查運(yùn)算和整理及化簡(jiǎn)能力，屬于中檔題．