Question

已知B（-1，1）是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上一點，且點B到橢圓兩個焦點的距離之和為4．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)A為橢圓的左頂點，直線AB交y軸于點C，過C作直線l交橢圓于D、E兩點，問：是否存在直線l，使得△CBD與△CAE的面積之比為1：7，若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標準方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）由題意列關(guān)于a，b的方程組，求解a，b后得橢圓方程；
（Ⅱ）由題意方程求得A的坐標，寫出AB的方程，求得C的坐標，設(shè)出DE所在直線方程，和橢圓方程聯(lián)立后由根與系數(shù)關(guān)系得到D，E的橫坐標的和與積，由△CBD與△CAE的面積之比為1：7，結(jié)合

|CB|

|CA|

=

1

2

得到

|CD|

|CE|

=

2

7

．從而x1=

2

7

x2，代入根與系數(shù)關(guān)系式得：k=±3，則直線l方程可求．

解答： 解：（Ⅰ）由已知得

1 a2 + 1 b2 =1 2a=4

，解得

a=2 b= 2 3

．
∴橢圓方程為：

x2

4

+

3y2

4

=1；
（Ⅱ）由A（-2，0），B（-1，1）有l(wèi)_AB：y=x+2，
∴C（0，2），
設(shè)D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），
∵x₁=x₂不合題意，
故可設(shè)l：y=kx+2，代入x²+3y²=4得：（3k²+1）x²+12kx+8=0  ①．
x1+x2=-

12k

3k2+1

，x1x2=

8

3k2+1

．
又

S△CBD

S△CAE

=

1 2 |CB||CD|sin∠ACE

1 2 |CA||CE|sin∠ACE

=

1

7

，

|CB|

|CA|

=

1

2

，
∴

|CD|

|CE|

=

2

7

．
從而x1=

2

7

x2，代入根與系數(shù)關(guān)系式得：k=±3，均滿足方程①的判別式大于0，
即l：y=±3x+2．

點評：本題主要考查橢圓的定義，直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，推理論證能力，考查了函數(shù)與方程思想，數(shù)形結(jié)合思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．