Question

15．已知在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2+2sinθ}\end{array}\right.$，（θ為參數(shù)），在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸）中，直線l的方程為ρsin（θ+φ）=0，（其中sinφ=$\frac{1}{3}$，cosφ=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$）．
（1）求曲線C在極坐標(biāo)系中的方程；
（2）求曲線C上到直線l距離最大的點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2+2sinθ}\end{array}\right.$，（θ為參數(shù)），利用cos²θ+sin²θ=1可得直角坐標(biāo)方程，把ρ²=x²+y²，y=ρsinθ代入可得極坐標(biāo)方程．
（2）直線l的方程為ρsin（θ+φ）=0，（其中sinφ=$\frac{1}{3}$，cosφ=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$），可得直角坐標(biāo)方程：$x+2\sqrt{2}y$=0，設(shè)曲線C上的任意一點(diǎn)P（2cosθ，2+2sinθ），利用點(diǎn)到直線的距離公式可得：點(diǎn)P到直l的距離d=$\frac{|6sin（θ+α）+4\sqrt{2}|}{3}$，即可得出．

解答 解：（1）曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2+2sinθ}\end{array}\right.$，（θ為參數(shù)），
利用cos²θ+sin²θ=1可得：x²+（y-2）²=4．即x²+y²-4y=0，可得極坐標(biāo)方程：ρ²-4ρsinθ=0，即ρ=4sinθ．
（2）直線l的方程為ρsin（θ+φ）=0，（其中sinφ=$\frac{1}{3}$，cosφ=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$），可得直角坐標(biāo)方程：$x+2\sqrt{2}y$=0，
設(shè)曲線C上的任意一點(diǎn)P（2cosθ，2+2sinθ），則點(diǎn)P到直l的距離d=$\frac{|2cosθ+4\sqrt{2}+4\sqrt{2}sinθ|}{3}$=$\frac{|6sin（θ+α）+4\sqrt{2}|}{3}$≤2+$\frac{4\sqrt{2}}{3}$．
當(dāng)且僅當(dāng)$\left\{\begin{array}{l}{cosα=\frac{1}{3}}\\{sinα=\frac{2\sqrt{2}}{3}}\end{array}\right.$，即P$（\frac{2}{3}，2+\frac{4\sqrt{2}}{3}）$時(shí)，d取得最大值2+$\frac{4\sqrt{2}}{3}$．
∴P$（\frac{2}{3}，2+\frac{4\sqrt{2}}{3}）$為所求．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、一點(diǎn)參數(shù)方程的應(yīng)用、點(diǎn)到直線的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．