Question

7．“開門大吉”是某電視臺推出的游戲節(jié)目．選手面對1～8號8扇大門，依次按響門上的門鈴，門鈴會播放一段音樂（將一首經(jīng)典流行歌曲以單音色旋律的方式演繹），選手需正確答出這首歌的名字，方可獲得該扇門對應(yīng)的家庭夢想基金．在一次場外調(diào)查中，發(fā)現(xiàn)參賽選手大多在以下兩個(gè)年齡段：21～30，31～40（單位：歲），統(tǒng)計(jì)這兩個(gè)年齡段選手答對歌曲名稱與否的人數(shù)如圖所示．
（1）寫出2×2列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認(rèn)為答對歌曲名稱與否和年齡有關(guān)，說明你的理由．（下面的臨界值表供參考）

P（K2≥k0）	0.1	0.05	0.01	0.005
k0	2.706	3.841	6.635	7.879

（2）在統(tǒng)計(jì)過的參考選手中按年齡段分層選取9名選手，并抽取3名幸運(yùn)選手，求3名幸運(yùn)選手中在21～30歲年齡段的人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望．
（參考公式：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)所給的二維條形圖得到列聯(lián)表，利用公式求出k²=3＞2.706，即可得出結(jié)論．
（2）設(shè)3名選手中在20～30歲之間的人數(shù)為ξ，可能取值為0，1，2，3，求出概率，列出分布列，求解期望即可．

解答 解：（1）2×2列聯(lián)表

	正確	錯(cuò)誤	合計(jì)
21～30	10	30	40
31～40	10	70	80
合計(jì)	20	100	120

∴K²=$\frac{120（70×10-30×10）^{2}}{20×100×40×80}$=3＞2.706
有90%的把握認(rèn)為猜對歌曲名稱與否和年齡有關(guān)．------（4分）
（2）按照分層抽樣方法可知：21～30（歲）抽取3人，31～40（歲）抽取6人．
設(shè)3名選手中在21～30歲之間的人數(shù)為ξ，可能取值為0，1，2，3----（5分）
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{6}^{3}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{5}{21}$，P（ξ=1）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{6}^{2}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{15}{28}$，P（ξ=2）=$\frac{{C}_{3}^{2}{C}_{6}^{1}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{3}{14}$，P（ξ=3）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{1}{84}$．-----（10分）
ξD的分布列

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{5}{21}$	$\frac{15}{28}$	$\frac{3}{14}$	$\frac{1}{84}$

--------------------（11分）
E（ξ）=0×$\frac{5}{21}$+1×$\frac{15}{28}$+2×$\frac{3}{14}$+3×$\frac{1}{84}$=1------（12分）

點(diǎn)評 本題考查對立檢驗(yàn)的應(yīng)用，離散型隨機(jī)變量的分布列以及期望的求法，考查計(jì)算能力．