Question

6．已知函數(shù)f（x）=lnx-mx．
（Ⅰ）若m=2，求曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在[1，e]上的最大值；
（Ⅲ）若f（x）+m≤0在x∈（0，+∞）上恒成立，求實數(shù)m的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的導數(shù)，求得切線的斜率和切點坐標，再由已知切線方程即可得到m；
（Ⅱ）求出導數(shù)，討論m的范圍，當m≤0時，當m＞0時，令導數(shù)大于0，得增區(qū)間，令導數(shù)小于0，得減區(qū)間，從而求出函數(shù)的最大值即可；
（Ⅲ）設g（x）=lnx-mx+m，即有g(shù)（x）_max＜0在x＞1恒成立．求出g（x）的導數(shù)，對m討論，當m≤0時，當m＞0時討論①當$\frac{1}{m}$≤1即m≥1時，②當$\frac{1}{m}$＞1即0＜m＜1時，通過單調(diào)性求得最大值，即可得到m的范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵m=2，∴f（x）=lnx-2x，x=1時f（1）=ln1-2=-2，
f′（x）=$\frac{1}{x}$-2，∴f′（1）=1-2=-1，
切線方程為：y+2=-（x-1）=-x+1，即x+y+1=0；
（Ⅱ）∵f′（x）=$\frac{1}{x}$-m，（x＞0），
當m≤0時，f'（x）＞0恒成立，
則單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞），無單調(diào)減區(qū)間；
故f（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，
f_max（x）=f（e）=lne-me=1-me，
當m＞0時，由f′（x）＞0得 0＜x＜$\frac{1}{m}$，
由f′（x）＜0，得x＞$\frac{1}{m}$，
∴f（x）在（0，$\frac{1}{m}$）遞增，在（$\frac{1}{m}$，+∞）遞減，
①若0＜$\frac{1}{m}$≤1，即m≥1時，f_max（x）=f（1）=-m，
②若1＜$\frac{1}{m}$＜e，即$\frac{1}{e}$＜m＜1時，f_max（x）=f（$\frac{1}{m}$）=ln$\frac{1}{m}$-1=-lnm-1，
③若$\frac{1}{m}$≥e，即m≤$\frac{1}{e}$時，f_max（x）=f（e）=lne-me=1-me，
綜上：當m≤$\frac{1}{e}$，f_max（x）=1-me，$\frac{1}{e}$＜m＜1時，f_max（x）=-lnm-1，
m≥1時，f_max（x）=f（1）=-m； 
（Ⅲ）由f（x）+m≤0，可得lnx-mx+m≤0在x＞0恒成立．
設g（x）=lnx-mx+m，即有g(shù)（x）_max≤0在x＞0恒成立．
由于g′（x）=$\frac{1}{x}$-m，
由（Ⅱ）知當m≤0時，g（x）在x＞0上遞增，
?x＞0，g（x）無最大值，不合題意舍去；
當m＞0時，g（x）在（0，$\frac{1}{m}$）遞增，在（$\frac{1}{m}$，+∞）遞減，
g（x）_max=g（$\frac{1}{m}$）=-lnm+m-1=0，解得：m=1符合題意；
綜上可得，m=1．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，主要考查導數(shù)的幾何意義和函數(shù)的單調(diào)性的運用，運用分類討論的思想方法是解題的關鍵．