Question

3．設數(shù)列{a_n}滿足a₁=0，且$\frac{1}{{1-{a_{n+1}}}}$-$\frac{1}{{1-{a_n}}}$=1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=$\frac{{1-{a_{n+1}}}}{n}$，求{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）判斷數(shù)列$\left\{{\frac{1}{{1-{a_n}}}}\right\}$是等差數(shù)列，求出通項公式，即可得到結(jié)果．
（2）化簡b_n=$\frac{{1-{a_{n+1}}}}{n}$，然后利用裂項法求解數(shù)列的和即可．

解答 解：（1）由題意知：數(shù)列$\left\{{\frac{1}{{1-{a_n}}}}\right\}$公是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，故 $\frac{1}{{1-{a_n}}}=n$．所以${a_n}=1-\frac{1}{n}$．
（2）${b_n}=\frac{{1-（{1-\frac{1}{n+1}}）}}{n}=\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
所以S_n=1$-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+$…+$\frac{1}{n}$$-\frac{1}{n+1}$=1$-\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

點評 本題考查數(shù)列求和，等差數(shù)列的判斷，裂項法的應用，考查計算能力．