Question

10．如圖，在底面為正方形的四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AP=AD，取線段PD，AD的中點(diǎn)E，F(xiàn)，連結(jié)AE，PF交于一點(diǎn)G．連結(jié)BF交AC于點(diǎn)H．
（1）證明：PB∥GH；
（2）求平面PBF與平面PCD所成二面角的大小．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形相似，證明對(duì)應(yīng)邊成比例，即可證明：PB∥GH；
（2）建立空間坐標(biāo)系，利用向量法求出平面的法向量，利用向量法進(jìn)行求解即可．

解答 （1）證明：∵線段PD，AD的中點(diǎn)是E，F(xiàn)，
∴EF∥PA，且EF=$\frac{1}{2}$PA，
則△EGF∽△AGP，∴$\frac{PG}{GF}$=$\frac{PA}{EF}$=2，
∵AF∥BC，
∴△AHF∽△CHB，∴$\frac{BH}{HF}$=$\frac{BC}{AF}$=2，
則$\frac{PG}{GF}$=$\frac{BH}{HF}$=2，
∴在△BFP中，GH∥PB；
（2）∵PA⊥底面ABCD，AP=AD，
∴建立以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP分別為x，y，z軸的空間直角坐標(biāo)系如圖
設(shè)AP=AD=1，
則A（0，0，0），B（1，0，0），P（0，0，1），F(xiàn)（0，$\frac{1}{2}$，0），C（1，1，0），D（0，1，0），
設(shè)平面PBF的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\overrightarrow{PB}$=（1，0，-1），$\overrightarrow{BF}$=（-1，$\frac{1}{2}$，0），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BF}=0}\end{array}\right.$，則$\left\{\begin{array}{l}{-x-z=0}\\{-x+\frac{1}{2}y=0}\end{array}\right.$，
令x=1，則z=-1，y=2，即$\overrightarrow{n}$=（1，2，-1），
設(shè)平面PCD的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\overrightarrow{DC}$=（1，0，0），$\overrightarrow{DP}$=（0，-1，1），
則由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DC}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DP}=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{-y+z=0}\end{array}\right.$，
令z=1，則y=1，x=0，即$\overrightarrow{m}$=（0，1，1），
則cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2-1}{\sqrt{2}×\sqrt{6}}=\frac{1}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
∵平面PBF與平面PCD所成二面角是銳二面角，
∴平面PBF與平面PCD所成二面角的大小是arccos$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線平行的判斷以及二面角的求解，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法進(jìn)行求解，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．