Question

9．在等差敦列（a_n}中，a₂=3，a₇=13，數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，且S_n=$\frac{4}{3}$（4ⁿ-1）．
（1）求a_n及b_n；
（2）求數(shù)列{a_n•b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）由已知條件利用等差數(shù)列的通項公式能求出首項和公差，由此能求出a_n=2n-1（n∈N^*）；能推導(dǎo)出{b_n}是首項為4公比為4的等比數(shù)列，由此求$_{n}={4}^{n}$（n∈N^*）．
（2）由{a_n•b_n}是由等比數(shù)列乘以等差數(shù)列的形式，用錯位相減法．

解答 解：（1）∵{a_n}是等差數(shù)列，
∴a₇-a₂=5d
∴5d=10，d=2，
∴a₁=1，
∴a_n=2n-1（n∈N^*）；
S_n=$\frac{4}{3}$（4ⁿ-1），數(shù)列{b_n}時等比數(shù)列，a₁=4，q=4，
∴$_{n}={4}^{n}$（n∈N^*）．
（2））∵c_n=a_nb_n=（2n-1）•4ⁿ，
${T}_{n}=4+3•{4}^{2}+5•{4}^{3}+…+（2n-1）•{4}^{n}$①
4T_n=4²+3•4³+5•4⁴+…+（2n-1）•4ⁿ⁺¹②
兩式相減-3T_n=4+2•4²+2•4³+…+2•4ⁿ-（2n-1）•4^n+1
3T_n=$（2n-\frac{5}{3}）•{4}^{n+1}+\frac{20}{3}$，
∴${T}_{n}=\frac{1}{3}（2n-\frac{5}{3}）•{4}^{n+1}+\frac{20}{9}$．

點評 本題考查數(shù)列的前n項和的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意錯位相減法的合理運用，屬于中檔題．