Question

如圖，在△ABC中，∠C=45°，D為BC中點(diǎn)，BC=2，記銳角∠ADB=α．且滿足cos2α=-

7

25

．
（1）求cos∠CAD；
（2）求BC邊上的高h(yuǎn)的值．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：解三角形

分析：（1）已知等式利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，求出cosα的值，利用外角性質(zhì)表示出∠CAD，利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡，把各自的值代入計(jì)算即可求出值；
（2）由cos∠CAD的值求出sin∠CAD的值，再由sinC以及CD的長，利用正弦定理求出AD的長，再利用銳角三角函數(shù)定義求出h的值即可．

解答： 解（1）∵cos2α=2cos²α-1=-

7

25

，
∴cos²α=

9

25

，
∵α∈（0，

π

2

），
∴cosα=

3

5

，sinα=

4

5

，
∵∠CAD=α-45°，
∴cos∠CAD=cos（α-45°）=

2

2

（cosα+sinα）=

7 2

10

；
（2）由（1）得，sin∠CAD=

1-cos2∠CAD

=

2

10

，
在△ACD中，由正弦定理得：

CD

sin∠CAD

=

AD

sinC

，即AD=

CDsinC

sin∠CAD

=

1× 2 2

2 10

=5，
則高h(yuǎn)=ADsin∠ADB=4．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦定理，以及兩角和與差的余弦函數(shù)公式，熟練掌握正弦定理是解本題的關(guān)鍵．