Question

已知函數(shù)f（x）=

3x-1

3x+1

（x∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的值域；
（2）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（3）用定義判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（4）解不等式f（1-m）+f（1-m²）＜0．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)的值域,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由y=

3x-1

3x+1

（x∈R），解得3x=

1+y

1-y

，利用3^x＞0，即可解出．
（2）計算f（-x），判斷與±f（x）的關(guān)系；
（3）利用函數(shù)的單調(diào)性的定義即可得出；
（3）利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性即可得出．

解答： 解：（1）由y=

3x-1

3x+1

，解得3x=

1+y

1-y

，
又3^x＞0，∴-1＜y＜1．
∴函數(shù)f（x）的值域為（-1，1）．
（2）∵f(-x)=

3-x-1

3-x+1

=

1-3x

1+3x

=-f(x)，
∴函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．
（3）此函數(shù)單調(diào)增函數(shù)．
證明：f(x)=1-

2

3x+1

．
在定義域中任取兩個實數(shù)x₁，x₂，且x₁＜x₂，
則 f（x₁）-f（x₂）=

2(3x1-3x2)

(3x1+1)(3x2+1)

，
∵x₁＜x₂，∴3x1＜3x2，從而f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴函數(shù)f（x）在R上為單調(diào)增函數(shù)．
（4）由（2）得函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，在R上為單調(diào)增函數(shù)．
∴f（1-m）+f（1-m²）＜0，即f（1-m）＜-f（1-m²），
∴f（1-m）＜f（m²-1），
∴1-m＜m²-1．
∴原不等式的解集為（-∞，-2）∪（1，+∞）．

點評：本題考查了函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．