Question

14．已知單調(diào)遞增數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，滿足S_n=$\frac{1}{2}$（a_n²+n）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)c_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{{a}_{n+1}}^{2}-1}，n為奇數(shù)}\\{3×{2}^{{a}_{n+1}}+1，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=$\frac{1}{2}（{a}_{1}^{2}+1）$，解得a₁；當(dāng)n≥2時(shí)，${S}_{n-1}=\frac{1}{2}（{a}_{n-1}^{2}+n-1）$，利用a_n=S_n-S_n-1，化為（a_n-1+a_n-1）（a_n-1-a_n-1）=0，可得a_n-1+a_n-1=0，或a_n-1-a_n-1=0，由于數(shù)列{a_n}是單調(diào)遞增數(shù)列，可得a_n-a_n-1=1．利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（2）c_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{n}^{2}+2n}，n為奇數(shù)}\\{3×{2}^{n+1}+1，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$．$\frac{1}{{n}^{2}+2n}=\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，對(duì)n分類討論，利用“裂項(xiàng)求和”、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=$\frac{1}{2}（{a}_{1}^{2}+1）$，解得a₁=1；
當(dāng)n≥2時(shí)，${S}_{n-1}=\frac{1}{2}（{a}_{n-1}^{2}+n-1）$，∴a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{2}（{a}_{n}^{2}-{a}_{n-1}^{2}+1）$，化為（a_n-1+a_n-1）（a_n-1-a_n-1）=0，
∴a_n-1+a_n-1=0，或a_n-1-a_n-1=0，
∵數(shù)列{a_n}是單調(diào)遞增數(shù)列，
∴a_n-a_n-1=1．
∴a_n=1+（n-1）=n．
（2）c_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{n}^{2}+2n}，n為奇數(shù)}\\{3×{2}^{n+1}+1，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$．
$\frac{1}{{n}^{2}+2n}=\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，T_n=（c₁+c₃+…+c_n-1）+（c₂+c₄+…+c_n）
=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+…+（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）]$+3（2³+2⁵+…+2ⁿ⁺¹）+$\frac{n}{2}$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{n+1}）$+3×$\frac{8（{4}^{\frac{n}{2}}-1）}{4-1}$+$\frac{n}{2}$
=$\frac{n}{2n+2}$+8（2ⁿ-1）+$\frac{n}{2}$．
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，T_n=（c₁+c₃+…+c_n）+（c₂+c₄+…+c_n-1）
=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）]$+$3×（{2}^{3}+{2}^{5}+…+{2}^{n}）+\frac{n-1}{2}$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{n+2}）$+3×$\frac{8（{4}^{\frac{n-1}{2}}-1）}{4-1}$+$\frac{n-1}{2}$
=$\frac{n}{n+2}$+8（2^n-1-1）+$\frac{n-1}{2}$．
∴T_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n}{n+2}+8（{2}^{n}-1）+\frac{n-1}{2}，n為奇數(shù)}\\{\frac{n}{2n+2}+8（{2}^{n}-1）+\frac{n}{2}，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了“裂項(xiàng)求和”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其、遞推關(guān)系的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．