Question

1．已知拋物線W：y²=4x的焦點(diǎn)為F，直線y=2x+t與拋物線W相交于A，B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）將|AB|表示為t的函數(shù)；
（Ⅱ）若|AB|=3$\sqrt{5}$，求△AFB的周長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （I）設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立直線方程和拋物線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，化簡(jiǎn)計(jì)算即可得到所求函數(shù)；
（II）運(yùn)用拋物線的定義和（I）的結(jié)論，可得|AF|+|BF|，進(jìn)而得到△AFB的周長(zhǎng)．

解答 解：（I）設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y^2}=4x\\ y=2x+t\end{array}\right.$，消元化簡(jiǎn)得4x²+（4t-4）x+t²=0，
則$\left\{\begin{array}{l}△=16{t^2}-32t+16-16{t^2}=16-32t＞0\\{x_1}+{x_2}=\frac{4-4t}{4}=1-t\\{x_1}{x_2}=\frac{t^2}{4}\end{array}\right.$，
所以$|AB|=\sqrt{1+{2^2}}|{x_1}-{x_2}|=\frac{{\sqrt{5}}}{4}\sqrt{16（1-2t）}=\sqrt{5}\sqrt{（1-2t）}$，其中$t＜\frac{1}{2}$；
（II）由$|AB|\;=3\sqrt{5}$，
則$\sqrt{5（1-2t）}$=3$\sqrt{5}$，解得t=-4，
經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)△=16-32t＞0，
所以x₁+x₂=1-t=5，
由拋物線的定義，
有$|AF|+|BF|=（{x_1}+\frac{p}{2}）+（{x_2}+\frac{p}{2}）={x_1}+{x_2}+p=5+2=7$，
又$|AB|=3\sqrt{5}$，
所以△AFB的周長(zhǎng)為$7+3\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的定義、方程和性質(zhì)，主要考查定義法的運(yùn)用，同時(shí)考查直線和拋物線方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，具有一定的運(yùn)算量，屬于中檔題．