Question

17．已知雙曲線$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$，過點(diǎn)P（3，6）的直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)為N（12，15），則雙曲線C的離心率為（　�。�

• A． 2
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\frac{{3\sqrt{5}}}{5}$
• D． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$

Answer 1

分析 方法一：由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，將A和B點(diǎn)代入雙曲線的方程，兩式相減即可求得直線的斜率，由直線AB的斜率k=$\frac{15-6}{12-3}$=1，即可求得$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{5}{4}$，根據(jù)雙曲線的離心率公式，即可求得雙曲線C的離心率．
方法二：設(shè)A（12+m，15+n），B（12-m，15-n），代入雙曲線方程，由直線l的斜率k=$\frac{n}{m}$=$\frac{4^{2}}{5{a}^{2}}$，直線AB的斜率k=$\frac{15-6}{12-3}$=1，根據(jù)雙曲線的離心率公式，即可求得雙曲線C的離心率．

解答 解法一：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由AB的中點(diǎn)為N（12，15），則x₁+x₂=24，y₁+y₂=30，
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{1}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}_{1}^{2}}{^{2}}=1}\\{\frac{{x}_{2}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}_{2}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，兩式相減得：$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{a}^{2}}$=$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1}-{y}_{2}）}{^{2}}$，
則$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{^{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{a}^{2}（{y}_{1}+{y}_{2}）}$=$\frac{4^{2}}{5{a}^{2}}$，
由直線AB的斜率k=$\frac{15-6}{12-3}$=1，
∴$\frac{4^{2}}{5{a}^{2}}$=1，則$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{5}{4}$，
雙曲線的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{3}{2}$，
∴雙曲線C的離心率為$\frac{3}{2}$，
故選B．
方法二：設(shè)A（12+m，15+n），B（12-m，15-n），
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{（12+m）^{2}}{{a}^{2}}-\frac{（15+n）^{2}}{^{2}}=1}\\{\frac{（12-m）^{2}}{{a}^{2}}-\frac{（15-n）^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，兩式相減得：$\frac{4m}{{a}^{2}}$=$\frac{5n}{^{2}}$，
由直線l的斜率k=$\frac{n}{m}$=$\frac{4^{2}}{5{a}^{2}}$，
直線AB的斜率k=$\frac{15-6}{12-3}$=1，
∴$\frac{4^{2}}{5{a}^{2}}$=1，則$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{5}{4}$，
雙曲線的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{3}{2}$，
∴雙曲線C的離心率為$\frac{3}{2}$，
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的離心率公式，考查中點(diǎn)坐標(biāo)公式，考查點(diǎn)差法的應(yīng)用，考查直線的斜率，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．