Question

19．如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D為AA₁的中點，E為BC的中點，
（1）求證：直線AE∥平面BDC₁；
（2）若三棱柱ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，AB=2，AA₁=4，求點C到平面BDC₁的距離．

Answer 1

分析 （1）取BC₁的中點F，連接DF，EF，則EF平行且等于AD，可得AE∥DF，利用線面平行的判定定理證明：直線AE∥平面BDC₁；
（2）利用等體積的方法，求點C到平面BDC₁的距離．

解答 （1）證明：取BC₁的中點F，連接DF，EF，則EF平行且等于AD，
∴EFDA是平行四邊形，
∴AE∥DF，
∵AE?平面BDC₁，DF?平面BDC₁，
∴直線AE∥平面BDC₁；
（2）解：△BDC₁中，BD=2$\sqrt{2}$，BC₁=2$\sqrt{5}$，DC₁=2$\sqrt{2}$，
∴${S}_{△BD{C}_{1}}$=$\frac{1}{2}×2\sqrt{5}×\sqrt{3}$=$\sqrt{15}$．
設點C到平面BDC₁的距離為h．則
由等體積可得$\frac{1}{3}×\sqrt{15}h=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×4×\sqrt{3}$，
∴h=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴點C到平面BDC₁的距離為$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查線面平行的判定，考查點到平面距離的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．