Question

14．已知函數(shù)f（x）=|x+1|+m|x-1|．
（Ⅰ）當(dāng)m=2時(shí)，求不等式f（x）＜4的解集；
（Ⅱ）若m＜0，f（x）≥2m，求m的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)m=2時(shí)，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-3x，x＜-1}\\{3-x，-1≤x≤1}\\{3x-1，x＞1}\end{array}\right.$，作出圖象，結(jié)合圖象由f（x）的單調(diào)性及f（$\frac{5}{3}$）=f（-1）=4，能求出f（x）＜4的解集．
（Ⅱ）由f（x）≥2m得|x+1|≥m （2-|x-1|），從而-$\frac{1}{m}$|x+1|≥|x-1|-2，在同一直角坐標(biāo)系中畫(huà)出y=|x-1|-2及y=-$\frac{1}{m}$|x+1|的圖象，根據(jù)圖象性質(zhì)能求出m的最小值．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)m=2時(shí)，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-3x，x＜-1}\\{3-x，-1≤x≤1}\\{3x-1，x＞1}\end{array}\right.$，
作出圖象，得：

結(jié)合圖象由f（x）的單調(diào)性及f（$\frac{5}{3}$）=f（-1）=4，
得f（x）＜4的解集為{x|-1＜x＜$\frac{5}{3}$}．…（5分）
（Ⅱ）由f（x）≥2m得|x+1|≥m （2-|x-1|），
∵m＜0，∴-$\frac{1}{m}$|x+1|≥|x-1|-2，
在同一直角坐標(biāo)系中畫(huà)出y=|x-1|-2及y=-$\frac{1}{m}$|x+1|的圖象，

根據(jù)圖象性質(zhì)可得-$\frac{1}{m}$≥1，即-1≤m＜0，
故m的最小值為-1．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式解集的求法，考查實(shí)數(shù)的最小值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意數(shù)形結(jié)合思想的合理運(yùn)用．