Question

10．在半徑為2的球面中，有一個(gè)底面是等邊三角形，側(cè)棱與底面垂直的三棱柱的頂點(diǎn)都在這個(gè)球面上，則該三棱柱的側(cè)面積的最大值為12$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 設(shè)底面等邊三角形的邊長(zhǎng)為a，三棱柱的高為h．由題意可得：2²=$（\frac{1}{2}h）^{2}$+$（\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}a）^{2}$，利用基本不等式的性質(zhì)、側(cè)面積的計(jì)算公式即可得出．

解答 解：設(shè)底面等邊三角形的邊長(zhǎng)為a，三棱柱的高為h．
由題意可得：2²=$（\frac{1}{2}h）^{2}$+$（\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}a）^{2}$，
化為：4a²+3h²=48．
∴48≥$2\sqrt{4{a}^{2}•3{h}^{2}}$，化為：ah≤4$\sqrt{3}$．當(dāng)且僅當(dāng)a=$\sqrt{6}$，h=2$\sqrt{2}$時(shí)取等號(hào)．
∴側(cè)面積S=3ah≤12$\sqrt{3}$，即該三棱柱的側(cè)面積的最大值為12$\sqrt{3}$．
故答案為：12$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、基本不等式的性質(zhì)、側(cè)面積的計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．