Question

19．若函數(shù)f（x）=e^ax-$\frac{lnx}{a}$（a＞0）存在零點(diǎn)，則a的取值范圍是（　�。�

• A． （0，$\frac{1}{e}$]
• B． （0，$\frac{1}{{e}^{2}}$]
• C． [$\frac{1}{{e}^{2}}$，$\frac{1}{e}$]
• D． [$\frac{1}{e}$，+∞）

Answer 1

分析 先考慮函數(shù)f（x）=a^x與g（x）=log_ax（a＞1）圖象僅有一個交點(diǎn)，且在公共點(diǎn)處有公共的切線，a的值，再利用換元法，即可得出結(jié)論．

解答 解：先考慮函數(shù)f（x）=a^x與g（x）=log_ax（a＞1）圖象僅有一個交點(diǎn)，且在公共點(diǎn)處有公共的切線，a的值．
兩函數(shù)互為反函數(shù)，則該切線即為y=x，設(shè)切點(diǎn)A，
可求出A（e，e），此時a=${e}^{\frac{1}{a}}$．
若a＞${e}^{\frac{1}{a}}$時，則f（x）=a^x與g（x）=log_ax（a＞1）無公共點(diǎn)；
若1＜a＜${e}^{\frac{1}{a}}$時，則f（x）=a^x與g（x）=log_ax（a＞1）有兩個公共點(diǎn)．
對f（x）=e^ax-$\frac{lnx}{a}$（a＞0），換元令t=e^a，即得t^x=log_tx，
由上知e^a=t≤${e}^{\frac{1}{a}}$，得a≤$\frac{1}{e}$．
故選A．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的零點(diǎn)，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化問題的能力，屬于中檔題．