Question

3．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$．
（1）過橢圓的左焦點F引橢圓的割線，求截得的弦的中點P的軌跡方程；
（2）求斜率為2的平行弦的中點Q的軌跡方程；
（3）求過點M（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）且被M平分的弦所在的直線方程．

Answer 1

分析 （1）求得左焦點的坐標(biāo)，設(shè)出直線y=k（x+1），代入橢圓方程，運用韋達定理和中點坐標(biāo)公式，化簡整理即可得到所求；
（2）設(shè)出平行線的方程，代入橢圓方程，運用韋達定理和中點坐標(biāo)公式，化簡整理可得軌跡方程；
（3）設(shè)出弦的端點的坐標(biāo)，代入橢圓方程，運用點差法和中點坐標(biāo)公式及直線的斜率公式，即可得到所求直線方程．

解答 解：（1）橢圓$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$的左焦點為（-1，0），
設(shè)弦所在直線方程為y=k（x+1），
代入橢圓方程為x²+2y²=2，
可得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0，
可得x₁+x₂=-$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
設(shè)弦的中點P（x，y），即有x=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，①
y=k（x+1）=$\frac{k}{1+2{k}^{2}}$，②
由①②，消去k，可得P的軌跡方程為x²+2y²+x=0，
對k不存在，弦的中點為（-1，0）．上式也成立．
故P的軌跡方程為x²+2y²+x=0；
（2）設(shè)斜率為2的平行弦方程為y=2x+t，代入橢圓方程可得，
9t²+8tx+2t²-2=0，
由判別式大于0，可得64t²-36t²（2t²-2）＞0，
解得-3＜t＜3，
由x₁+x₂=-$\frac{8t}{9}$，中點為（-$\frac{4t}{9}$，$\frac{t}{9}$），
即有截得的弦的中點P的軌跡方程為x+4y=0（-$\frac{4}{3}$＜x＜$\frac{4}{3}$）；
（3）設(shè)過點M（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）且被M平分的弦的端點的坐標(biāo)為（m，n），（s，t），
即有m²+2n²=2，s²+2t²=2，兩式相減可得（m-s）（m+s）+2（n-t）（n+t）=0，
由m+s=1，n+t=1，弦所在直線的斜率為k=$\frac{n-t}{m-s}$=-$\frac{1}{2}$，
則被M平分的弦所在的直線方程為y-$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{2}$（x-$\frac{1}{2}$），
即為y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{4}$．

點評 本題考查軌跡方程的求法，注意運用直線方程和橢圓方程，由韋達定理和中點坐標(biāo)公式及斜率公式，考查化簡整理的能力，屬于中檔題．