Question

18．已知函數(shù)f（x）=2xsin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$，有下列四個(gè)結(jié)論：
①?x∈R，都有f（-x）=-f（x）成立；
②存在常數(shù)T≠0，對(duì)于?x∈R，恒有f（x+T）=f（x）成立；
③?M＞0，至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)x₀，使得f（x₀）＞M；
④函數(shù)y=f（x）有無數(shù)多個(gè)極值點(diǎn)．
其中正確結(jié)論的序號(hào)是③④（將所有正確結(jié)論的序號(hào)都填上）．

Answer 1

分析 ①先求f（x）=xsinx，可求f（-x）=f（x）；
②研究的是函數(shù)的周期性，采用舉對(duì)立面的形式說明其不成立；
③找出一個(gè)常數(shù)M，都存在實(shí)數(shù)x₀，使得|f（x₀）|≥M成立即可；
④求導(dǎo)后得到x=-tanx，y=x與y=-tanx有無數(shù)個(gè)交點(diǎn)，可得f（x）=xsinx有無數(shù)個(gè)極值點(diǎn)．

解答 解：f（x）=2xsin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$=xsinx，
①?x∈R，都有f（-x）=-xsin（-x）=xsinx=f（x），錯(cuò)誤；
對(duì)于②∵當(dāng)x=2kπ+$\frac{π}{2}$時(shí)，f（x）=x，隨著x的增大函數(shù)值也在增大，所以不會(huì)是周期函數(shù)，故②錯(cuò)；
對(duì)于③取M=1，當(dāng)x₀=$\frac{π}{2}$時(shí)，|f（$\frac{π}{2}$）|=$\frac{π}{2}$≥1；故③正確；
④f（x）=xsinx，求導(dǎo)后得到sinx+xcosx=0，
得到x=-tanx，根據(jù)y=x與y=-tanx有無數(shù)個(gè)交點(diǎn)，
所以x=-tanx有無數(shù)解，
所以f（x）=xsinx有無數(shù)個(gè)極值點(diǎn)，故正確．
故答案為：③④．

點(diǎn)評(píng) 本題考點(diǎn)是函數(shù)的單調(diào)性判斷與證明，函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的中心對(duì)稱的判斷及函數(shù)的周期性，涉及到的性質(zhì)比較多，且都是定義型，本題知識(shí)性較強(qiáng)，做題時(shí)要注意準(zhǔn)確運(yùn)用相應(yīng)的知識(shí)準(zhǔn)確解題．