Question

10．已知e^x+ax-a＞0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-e²，0]．

Answer 1

分析 由題意可得e^x＞-a（x-1），當(dāng)x=1，x＞1，x＜1時(shí)，運(yùn)用參數(shù)分離和導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)性，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：e^x+ax-a＞0恒成立，
即為e^x＞-a（x-1），
當(dāng)x=1時(shí)，e＞0成立；
當(dāng)x＞1時(shí)，-a＜$\frac{{e}^{x}}{x-1}$的最小值，
由f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x-1}$的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-2）}{（x-1）^{2}}$，
當(dāng)x=2時(shí)，f（x）取得最小值e²，
即有-a＜e²，解得a＞-e²；
當(dāng)x＜1時(shí)，-a＞$\frac{{e}^{x}}{x-1}$，
由f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x-1}$的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-2）}{（x-1）^{2}}$＜0，
f（x）遞減，即有f（x）＜0，
即有-a≥0，解得a≤0．
則a的范圍是（-e²，0]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式恒成立問(wèn)題的解法，注意運(yùn)用參數(shù)分離和換元法，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性求得最值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．