Question

7．某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)值衡量，質(zhì)量指標(biāo)值越大表明質(zhì)量越好，記其質(zhì)量指標(biāo)為k，當(dāng)k≥85時(shí)，產(chǎn)品為一級(jí)品；當(dāng)75≤k＜85時(shí)，產(chǎn)品為二級(jí)品；當(dāng)70≤k＜75時(shí)，產(chǎn)品為三級(jí)品．現(xiàn)用兩種新配方（分別稱為A配方和B配方）做實(shí)驗(yàn)，各生產(chǎn)了100件這種產(chǎn)品，并測(cè)量了每件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值，得到下面試驗(yàn)結(jié)果：（以下均視頻率為概率）
A配方的頻數(shù)分布表                             B配方的頻數(shù)分布表

指標(biāo)值分組	[75，80）	[80，85）	[85，90）	[90，95）		指標(biāo)值分組	[75，80）	[80，85）	[85，90）	[90，95）	[75，80）
頻數(shù)	10	30	40	20		頻數(shù)	5	10	15	40	30

（1）若從B配方產(chǎn)品中有放回地隨機(jī)抽取3件，記“抽出的B配方產(chǎn)品中至少1件二級(jí)品”為事件C，求事件C的概率P（C）；
（2）若兩種新產(chǎn)品的利潤(rùn)率與質(zhì)量指標(biāo)值k滿足如下關(guān)系：y=$\left\{\begin{array}{l}{t，k≥85}\\{5{t}^{2}，75≤k＜85}\\{{t}^{2}，70≤k＜75}\end{array}\right.$（其中$\frac{1}{7}$＜t＜$\frac{1}{6}$），從長(zhǎng)期來(lái)看，投資哪種配方的產(chǎn)品平均利潤(rùn)率較大？

Answer 1

分析 （1）先求出P（抽中二級(jí)品）=$\frac{1}{4}$，由此能求出事件C的概率P（C）．
（2）分別求出A的分布列，E（A）和B的分布列E（B），由此能求出從長(zhǎng)期來(lái)看，投資哪種配方的產(chǎn)品平均利潤(rùn)率較大．

解答 解：（1）P（抽中二級(jí)品）=$\frac{1}{4}$，P（沒(méi)抽中二級(jí)品）=$\frac{3}{4}$，
P（C）=1-（$\frac{3}{4}$）³=$\frac{37}{64}$．
（2）A的分布列為：

y	t	5t2
P	0.6	0.4

∴E（A）=0.6t+2t²
B的分布列為：

y	t	5t2	t2
P	0.7	0.25	0.05

∴E（B）=0.7t+1.3t²
∵$\frac{1}{7}$＜t＜$\frac{1}{6}$，
∴E（A）-E（B）=$\frac{7}{10}$t（t-$\frac{1}{7}$）＞0，
∴E（A）較大，投資A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，在歷年高考中都是必考題型之一．