【題目】已知函數(shù)

,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

若函數(shù)的圖象在點處的切線的傾斜角為,對于任意的,函數(shù)在區(qū)間上總不是單調(diào)函數(shù),求m的取值范圍.

【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)

【解析】

(1)f(1)=﹣5,0﹣a﹣3=﹣5,解得a.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得出.

(2)由f(x)=alnx﹣ax﹣3,可得f′(x)=﹣a.由題意可得:f′(2)=﹣a=tan45°=1,解得a=﹣2.可得f′(x)=﹣+2.g(x)=x3+x2=x3+x2﹣2x,g′(x)=3x3+(m+4)x﹣2.g′(0)=﹣2.函數(shù)g(x)=x3+x2[f′(x)+]在區(qū)間(t,3)上總不是單調(diào)函數(shù),可得,由題意可知:對于任意的t∈[1,2],g′(t)<0恒成立.利用單調(diào)性即可得出.

(1)∵f(1)=﹣5,0﹣a﹣3=﹣5,解得a=2.

∴f(x)=2lnx﹣2x﹣3.

∴f′(x)=﹣2=,(x>0).

函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞減區(qū)間為(1,+∞).

(2)∵f(x)=alnx﹣ax﹣3,∴f′(x)=﹣a.

由題意可得:f′(2)=﹣a=tan45°=1,解得a=﹣2.

∴f(x)=﹣2lnx+2x﹣3.f′(x)=﹣+2.

g(x)=x3+x2[f′(x)+]=x3+x2=x3+x2﹣2x,

∴g′(x)=3x3+(m+4)x﹣2.g′(0)=﹣2.

函數(shù)g(x)=x3+x2[f′(x)+]在區(qū)間(t,3)上總不是單調(diào)函數(shù),

,由題意可知:對于任意的t∈[1,2],g′(t)<0恒成立.

∴3t2+(m+4)t﹣2<0,則﹣(m+4)>3t﹣對任意的t∈[1,2]成立.

又3t﹣在t∈[1,2]為增函數(shù),則﹣(m+4)>6﹣1,

<m<﹣9.

練習(xí)冊系列答案
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1)求的值;

2)假設(shè)網(wǎng)校的員工工資,辦公等所有開銷折合為每套題2元(只考慮銷售出的套數(shù)),試確定銷售價格的值,使網(wǎng)校每日銷售套題所獲得的利潤最大.(保留1位小數(shù))

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)能否據(jù)此判斷有97.5%的把握認(rèn)為視覺和空間能力與性別有關(guān)?

)經(jīng)過多次測試后,甲每次解答一道幾何題所用的時間在57分鐘,乙每次解答一道幾何題所用的時間在68分鐘,現(xiàn)甲、乙各解同一道幾何題,求乙比甲先解答完的概率.

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③f(x)和g(x)之間存在“隔離直線”,且k的取值范圍是(﹣4,0];
④f(x)和h(x)之間存在唯一的“隔離直線”y=2 x﹣e.
其中真命題的個數(shù)為(請?zhí)钏姓_命題的序號)

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