Question

6．已知曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=4sinθ，設(shè)直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=t-1}\\{y=2t+1}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
（Ⅰ）將曲線C的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l與曲線C的交點是M，N，O為坐標(biāo)原點，求△OMN的面積．

Answer 1

分析 （I）極坐標(biāo)方程兩邊同乘ρ，根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的對應(yīng)關(guān)系得出直角坐標(biāo)方程；
（II）把直線的參數(shù)方程代入曲線C的普通方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系和參數(shù)的幾何意義計算|MN|，利用距離公式計算O到直線l的距離，代入三角形的面積公式計算．

解答 解：（I）∵曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=4sinθ，∴ρ²=4ρsinθ，
∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為x²+y²=4y，
（II）直線l的普通方程為2x-y+3=0，
∴點O到直線l的距離d=$\frac{3}{\sqrt{5}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．
直線l的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+\frac{\sqrt{5}}{5}t}\\{y=1+\frac{2\sqrt{5}}{5}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
把$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+\frac{\sqrt{5}}{5}t}\\{y=1+\frac{2\sqrt{5}}{5}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）代入x²+y²=4y得：5t²-6$\sqrt{5}$t-10=0，
設(shè)M，N對應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，則t₁+t₂=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，t₁t₂=-2．
∴|MN|=$\sqrt{\frac{36}{5}+8}$=$\frac{2\sqrt{19}}{\sqrt{5}}$，
∴△OMN的面積為$\frac{1}{2}$|MN|•d=$\frac{1}{2}$×$\frac{2\sqrt{19}}{\sqrt{5}}$×$\frac{3\sqrt{5}}{5}$=$\frac{\sqrt{19}}{5}$．

點評 本題考查了極坐標(biāo)方程，參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，參數(shù)的幾何意義，屬于中檔題．