Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，

1

an

-

1

an+1

=

2

anan+1

（n∈N^*）．
（1）求證數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，并求出它的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，是否存在正整數(shù)n，使得S₁+

S2

2

+

S3

3

+…+

Sn

n

-

(n-1)2

2

=2014成立？若存在，求出n的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由等差數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式即可求得結(jié)論；
（2）由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求得結(jié)論即可．

解答： 解：（1）由

1

an

-

1

an+1

=

2

anan+1

得，a_n+1-a_n=2，
又a₁=1，所以數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，
所以a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（2）由（1）得s_n=n²，

sn

n

=n，
則S₁+

S2

2

+

S3

3

+…+

Sn

n

-

(n-1)2

2

=

n(n+1)

2

-

1

2

（n-1）²=

1

2

（3n-1），
由

1

2

（3n-1）=2014得n=1343．
∴存在滿足條件的自然數(shù)n=1343．

點(diǎn)評：本題主要考查等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和等知識；考查學(xué)生運(yùn)算求解能力及函數(shù)與方程思想的運(yùn)用能力，綜合性強(qiáng)，屬難題．