Question

5．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的離心率為$\frac{1}{2}$，且過點$（1，\frac{3}{2}）$．若點M（x₀，y₀）在橢圓C上，則點$N（\frac{x_0}{a}，\frac{y_0}）$稱為點M的一個“橢點”．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線l：y=kx+m與橢圓C相交于A，B兩點，且A，B兩點的“橢點”分別為P，Q，以PQ為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點，試求△AOB的面積．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的離心率公式，利用待定系數(shù)法及a，b，c的關(guān)系，即可取得a與b的值，求得橢圓方程；
（2）以PQ為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點，得$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}=0$，將直線l的方程代入橢圓方程，由韋達(dá)定理，弦長公式及點到直線的距離公式，將2m²-4k²=3代入即可求得△AOB的面積．

解答 解：（1）由橢圓的離心率$e=\frac{1}{2}$，得a=2c，…（1分）
又a²=b²+c²，則$b=\sqrt{3}c$，…（2分）
∴橢圓$C：\frac{x^2}{{4{c^2}}}+\frac{y^2}{{3{c^2}}}=1$，
由$（{1，\frac{3}{2}}）$在C上，則$\frac{1}{{4{c^2}}}+\frac{{\frac{9}{4}}}{{3{c^2}}}=1$，得c=1，…（3分）
∴$a=2，b=\sqrt{3}$，…（4分）
∴橢圓C的方程為：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；…（5分）
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則P（$\frac{{x}_{1}}{2}$，$\frac{{y}_{1}}{\sqrt{3}}$），Q（$\frac{{x}_{2}}{2}$，$\frac{{y}_{2}}{\sqrt{3}}$），
由以PQ為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點，得$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}=0$，
即$\frac{{{x_1}{x_2}}}{4}+\frac{{{y_1}{y_2}}}{3}=0$（1）…（6分）
由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.$，消除y整理得：（3+4k²）x²+8mk+4（m²-3）=0，
由△=64k²m²-16（3+4k²）（m²-3）＞0，得3+4k²-m²＞0，
而${x_1}+{x_2}=-\frac{8mk}{{3+4{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{{4（{{m^2}-3}）}}{{3+4{k^2}}}$（2）…（7分）
∴${y_1}{y_2}=（{k{x_1}+m}）（{k{x_2}+m}）={k^2}{x_1}{x_2}+mk（{{x_1}+{x_2}}）+{m^2}=\frac{{3（{{m^2}-4{k^2}}）}}{{3+4{k^2}}}$（3）
將（2）（3）代入（1）得：$\frac{{4（{{m^2}-3}）}}{{4（{3+4{k^2}}）}}+\frac{{3（{{m^2}-4{k^2}}）}}{{4（{3+4{k^2}}）}}=0$，
即2m²-4k²=3，…（8分）
又∵$|{AB}|=\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{{{（{{x_1}+{x_2}}）}^2}-4{x_1}{x_2}}=\sqrt{1+{k^2}}\frac{{\sqrt{48（{4{k^2}-{m^2}+3}）}}}{{3+4{k^2}}}$，…（9分）
原點O到直線l：y=kx+m的距離$d=\frac{|m|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$，…（10分）
∴${S_{△AOB}}=\frac{1}{2}|{AB}|d=\frac{1}{2}\sqrt{1+{k^2}}\frac{{\sqrt{48（{4{k^2}-{m^2}+3}）}}}{{3+4{k^2}}}\frac{|m|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$，…（11分）
把2m²-4k²=3代入上式得${S_{△AOB}}=\sqrt{3}$，即S_△AOB的面積是為$\sqrt{3}$．…（12分）

點評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，韋達(dá)定理，弦長公式及點到直線的距離公式，考查計算能力，屬于中檔題．