Question

9．已知x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]．
（1）求函數(shù)f（x）=sinx的值域；
（2）求函數(shù)g（x）=-3tan²$\frac{x}{2}$+4tan$\frac{x}{2}$-1的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性得出最大值和最小值；
（2）求出tan$\frac{x}{2}$的范圍，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性得出g（x）的最值．

解答 解：（1）∵f（x）在[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]上是增函數(shù)，在[$\frac{π}{2}$，$\frac{2π}{3}$]上是減函數(shù)，
∴當(dāng)x=-$\frac{π}{3}$時f（x）取得最小值-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，當(dāng)x=$\frac{π}{2}$時f（x）取得最大值1．
∴f（x）的值域是[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]．
（2）g（x）=-3（tan$\frac{x}{2}$-$\frac{2}{3}$）²+$\frac{1}{3}$．
∵x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，∴$\frac{x}{2}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]．
∴tan$\frac{x}{2}$∈[-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\sqrt{3}$]．
∴當(dāng)tan$\frac{x}{2}$=$\frac{2}{3}$時，g（x）取得最大值$\frac{1}{3}$，當(dāng)tan$\frac{x}{2}$=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$時，g（x）取得最小值-2-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查了正弦函數(shù)，正切函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．