Question

4．已知a₁=4，a_n+1=$\frac{{2a}_{n}}{{2a}_{n}+1}$，則a_n=$\frac{1}{2-7•（\frac{1}{2}）^{n+1}}$．

Answer 1

分析 由題意可得$\frac{1}{{a}_{n}}$-2=2（$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-2），繼而得到數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$-2}是以-$\frac{7}{4}$為首項(xiàng)，以$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列，問(wèn)題得以解決．

解答 解：∵a_n+1=$\frac{{2a}_{n}}{{2a}_{n}+1}$，
∴a_n+1+2a_n+1a_n=2a_n，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$+2=$\frac{2}{{a}_{n+1}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$-2=2（$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-2），
∴$\frac{\frac{1}{{a}_{n+1}}-2}{\frac{1}{{a}_{n}}-2}$=$\frac{1}{2}$，
∵a₁=4，
∴$\frac{1}{{a}_{1}}$-2=$\frac{1}{4}$-2=-$\frac{7}{4}$，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$-2}是以-$\frac{7}{4}$為首項(xiàng)，以$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$-2=-$\frac{7}{4}$•（$\frac{1}{2}$）^n-1=-7×（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
∴a_n=$\frac{1}{2-7•（\frac{1}{2}）^{n+1}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了通過(guò)遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式，關(guān)鍵是構(gòu)造等比數(shù)列，屬于中檔題．