Question

7．定義：$\frac{n}{{p}_{1}+{p}_{1}+…+{p}_{n}}$為n個(gè)p₁，p₂，…p_n的“均倒數(shù)”，若已知正數(shù)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)的”均倒數(shù)“為$\frac{1}{2n+1}$，又b_n=$\frac{{a}_{n}-1}{2}$．，$\frac{1}{_{1}_{2}}$+$\frac{1}{_{2}_{3}}$+…+$\frac{1}{_{2014}_{2015}}$=（　�。�

• A． $\frac{2013}{4027}$
• B． $\frac{4026}{4027}$
• C． $\frac{2014}{4029}$
• D． $\frac{4028}{4029}$

Answer 1

分析 直接利用給出的定義得到$\frac{n}{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}$=$\frac{1}{2n+1}$，整理得到Sn=2n2+n．分n=1和n≥2求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)，驗(yàn)證n=1時(shí)滿足，所以數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式可求；

解答 解：由已知定義，得到$\frac{n}{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}$=$\frac{1}{2n+1}$，
∴a₁+a₂+…+a_n=n（2n+1）=S_n，
即Sn=2n2+n．
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=3．
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=（2n²+n）-[2（n-1）²+（n-1）]=4n-1．
當(dāng)n=1時(shí)也成立，
∴a_n=4n-1；
∵b_n=$\frac{{a}_{n}-1}{2}$．
∴b_n=2n-1，
即$\frac{1}{_{1}_{2}}$+$\frac{1}{_{2}_{3}}$+…+$\frac{1}{_{n-1}_{n}}$=$\frac{1}{1×3}$$+\frac{1}{3×5}$$+\frac{1}{5×7}$$+…+\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$
$\frac{1}{2}×$（1$-\frac{1}{3}$$+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$$-\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{n}{2n+1}$

$\frac{1}{_{1}_{2}}$+$\frac{1}{_{2}_{3}}$+…+$\frac{1}{_{2014}_{2015}}$=$\frac{2014}{2×2014+1}$=$\frac{2014}{4029}$．
故選；C

點(diǎn)評(píng) 本考查了數(shù)列的遞推關(guān)系式的運(yùn)用，裂項(xiàng)的方法求解數(shù)列的和，考查的解題思想較多，但是運(yùn)用量不大，屬于中檔題．