Question

4．卵形線是常見曲線的一種，分笛卡爾卵形線和卡西尼卵形線，卡西尼卵形線是平面內(nèi)與兩個定點（叫做焦點）距離之積等于常數(shù)的點的軌跡．某同學類比橢圓與雙曲線對卡西尼卵形線進行了相關性質(zhì)的探究，設焦點F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）是平面內(nèi)兩個定點，|PF₁|•|PF₂|=a²（a是定長），得出卡西尼卵形線的相關結論：
①當a=0，c=1時，次軌跡為兩個點F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）；
②若a=c，則曲線過原點；
③若0＜a＜c，則曲線不存在；
④既是軸對稱也是中心對稱圖形．
其中正確命題的序號是①②③④．

Answer 1

分析 由題意設P（x，y），則$\sqrt{（x+c）^{2}+{y}^{2}}•\sqrt{（x-c）^{2}+{y}^{2}}$=a²，即[（x+c）²+y²]•[（x-c）²+y²]=a⁴，對4個選項加以驗證，即可得出結論．

解答 解：由題意設P（x，y），則$\sqrt{（x+c）^{2}+{y}^{2}}•\sqrt{（x-c）^{2}+{y}^{2}}$=a²，
即[（x+c）²+y²]•[（x-c）²+y²]=a⁴，
①當a=0，c=1時，軌跡為兩個點F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），正確；
②a=c，（0，0）代入，方程成立則曲線過原點，即故②正確；
③∵（|PF₁|+|PF₂|）_min=2c，（當且僅當，|PF₁|=|PF₂|=c時取等號），
∴（|PF₁||PF₂|）_min=c²，
∴若0＜a＜c，則曲線不存在，故③正確；
④把方程中的x被-x代換，方程不變，故此曲線關于y軸對稱；
把方程中的y被-y 代換，方程不變，故此曲線關于x軸對稱；
把方程中的x被-x代換，y被-y 代換，方程不變，
故此曲線關于原點對稱；故④正確；
故答案為：①②③④．

點評 本題考查新定義，考查學生分析解決問題的能力，正確運用新定義是關鍵．