Question

2．二次函數(shù)y=a（a+1）x²-（2a+1）x+1，當(dāng)a=1，2，3…n時(shí)，其拋物線(xiàn)在x軸上截得的線(xiàn)段長(zhǎng)度依次為d₁，d₂，d₃…dn，則$\underset{lim}{n→∞}$（d₁+d₂+…+d_n）=1．

Answer 1

分析 當(dāng)a=n時(shí)，y=n（n+1）x²-（2n+1）x+1，利用|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$，結(jié)合方程的根與系數(shù)關(guān)系可求d_n，然后利用裂項(xiàng)求和方法即可求解．

解答 解：當(dāng)a=n時(shí)，y=n（n+1）x²-（2n+1）x+1，
根據(jù)題意可得：x₁+x₂=$\frac{2n+1}{n（n+1）}$，x₁x₂=$\frac{1}{n（n+1）}$，
∵|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴d₁+d₂+…+d_n=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$，
∴$\underset{lim}{n→∞}$（d₁+d₂+…+d_n）=$\underset{lim}{n→∞}$（1-$\frac{1}{n+1}$）=1，
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的二次函數(shù)的性質(zhì)的運(yùn)算，裂項(xiàng)求和公式的合理運(yùn)用是求解的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．