Question

【題目】已知橢圓的離心率，過(guò)點(diǎn)和的直線與原點(diǎn)的距離為．

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)作直線交橢圓于兩點(diǎn)，求面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）先求出直線方程為，利用原點(diǎn)到直線的距離建立方程并化簡(jiǎn)得，有離心率及，解方程組求得：，故橢圓方程為；（2）設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立直線與橢圓方程，寫出根與系數(shù)關(guān)系，利用弦長(zhǎng)公式求得面積的表達(dá)式，利用基本不等式求得最大值為.

試題解析：

（1）直線的方程為即，

原點(diǎn)到直線的距離為即．．．．．．．．．．．．．①

．．．．．．．．．．．②

又．．．．．．．．．．③

由①②③可得：故橢圓方程為；

（2），設(shè)，

由于直線的斜率不為0，故設(shè)其方程為：，

聯(lián)立直線與橢圓方程：

或．．．．．．．．．．④

．．．．．．．．．．．．．．．．⑤

將④代入⑤得：，

令，則，

當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時(shí)，面積取最大值．