Question

6．如圖，A，B是圓O上兩點(diǎn)，延長AB至點(diǎn)C，滿足AB=2BC=2，過C作直線CD與圓O相切于點(diǎn)D，∠ADB的平分線交AB于點(diǎn)E．
（I）求AE的長；
（II）若∠DBA=60°，求△BDE的面積．

Answer 1

分析 （I）由圓的弦切角定理和切割線定理，以及內(nèi)角平分線的定義，計(jì)算即可得到所求AE的長；
（11）由兩角對應(yīng)相等，可得△CDB∽△CAD，即有對應(yīng)邊成比例，結(jié)合三角形的余弦定理和面積公式，計(jì)算即可得到所求面積．

解答 解：（I）由題可知∠CDB=∠DAB，∠EDA=∠EDB，
又∠CED=∠DAE+∠EDA，∠EDC=∠EDB+∠BDC
故∠CED=∠EDC，故CD=CE，
由AB=2BC=2，即有BC=1，AC=3，
可得CD²=CB•CA=3，即$CD=\sqrt{3}$，故$C{E}=\sqrt{3}$，
故AE的長為AC-CE=$3-\sqrt{3}$；
（11）因?yàn)橹本�CD與圓O相切于點(diǎn)D，
則∠CDB=∠DAC，則△CDB∽△CAD，
則$\frac{{{B}D}}{{{A}D}}=\frac{CD}{{{A}C}}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}⇒{A}D=\sqrt{3}{B}D$，
設(shè)BD=m，${A}D=\sqrt{3}m$，
△ABD中，由余弦定理得3m²=m²+4-4mcos60°，
解之得m=1，由（I）知${B}{E}=\sqrt{3}-1$，
故所求△BDE的面積為$\frac{1}{2}$BE•BD•sin60°=$\frac{1}{2}（{\sqrt{3}-1}）•1•\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{3-\sqrt{3}}}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查圓的弦切角定理和切割線定理、相似三角形的判定和性質(zhì)及三角形的余弦定理和面積公式的運(yùn)用，考查推理和運(yùn)算能力，屬于中檔題．