Question

6．已知向量$\overrightarrow{m}$=（2cosx，1），$\overrightarrow{n}$=（cosx，$\sqrt{3}$sin2x），函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{m}$$•\overrightarrow{n}$+2016
（1）化簡f（x）的解析式，求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，已知f（A）=2018，a=4，△ABC的面積為4$\sqrt{3}$，試判定△ABC的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{m}$$•\overrightarrow{n}$+2016，利用數(shù)量積運算性質(zhì)、和差公式、倍角公式可得：f（x）=2$sin（2x+\frac{π}{6}）$+1，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出．
（2）由f（A）=2018，可得：2$sin（2A+\frac{π}{6}）$+2017=2018，化為：$sin（2A+\frac{π}{6}）$=$\frac{1}{2}$，由于A∈（0，π），可得：2A+$\frac{π}{6}$=$π-\frac{π}{6}$，解得A．由a=4，△ABC的面積為4$\sqrt{3}$，可得$\frac{1}{2}bcsinA$=4$\sqrt{3}$，a²=b²+c²-2bccosA，代入化簡解出即可得出．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{m}$$•\overrightarrow{n}$+2016=2cos²x+$\sqrt{3}$sin2x+2016=cos2x+$\sqrt{3}$sin2x+2017=2$sin（2x+\frac{π}{6}）$+2017，
由$-\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，解得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤$\frac{π}{6}$+kπ，k∈Z．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為：[kπ-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$+kπ]，k∈Z．
（2）由f（A）=2018，可得：2$sin（2A+\frac{π}{6}）$+2017=2018，化為：$sin（2A+\frac{π}{6}）$=$\frac{1}{2}$，
∵A∈（0，π），∴2A+$\frac{π}{6}$∈$（\frac{π}{6}，\frac{13π}{6}）$，
∴2A+$\frac{π}{6}$=$π-\frac{π}{6}$，解得A=$\frac{π}{3}$．
∵a=4，△ABC的面積為4$\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{2}bcsinA$=4$\sqrt{3}$，a²=b²+c²-2bccosA，
化為：bc=16，b²+c²-bc=16，
解得b=c=4，
∴△ABC是等邊三角形．

點評 本題考查了數(shù)量積運算性質(zhì)、和差公式、倍角公式、正弦函數(shù)的單調(diào)性、余弦定理、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．