Question

18．設(shè)函數(shù)f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$ax²+x．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）≤k恒成立，求k的取值范圍；
（2）方程mf（x）=（1-$\frac{am}{2}$）x²有唯一實(shí)數(shù)解，求正數(shù)m的值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的最大值，從而求出k的范圍即可；
（2）lnx+x=0時(shí)，不合題意，當(dāng)lnx+x≠0時(shí)，m=$\frac{{x}^{2}}{lnx+x}$有唯一解，此時(shí)x＞x₀，記h（x）=$\frac{{x}^{2}}{lnx+x}$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出m的值即可．

解答 解：（1）a=2時(shí)，f（x）=lnx-x²+x，
f（x）的定義域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{1}{x}$-2x+1=$\frac{-{2x}^{2}+x+1}{x}$=$\frac{-（2x+1）（x-1）}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1，
故f（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減，
故f（x）_max=f（1）=0，
若f（x）≤k恒成立，
則k≥0；
（2）方程mf（x）=（1-$\frac{am}{2}$）x²有唯一實(shí)數(shù)解，
即m（lnx+x）=x²有唯一實(shí)數(shù)解，
當(dāng)lnx+x=0時(shí)，顯然不成立，設(shè)lnx+x=0的根為x₀∈（$\frac{1}{e}$，1）
當(dāng)lnx+x≠0時(shí)，m=$\frac{{x}^{2}}{lnx+x}$有唯一解，此時(shí)x＞x₀
記h（x）=$\frac{{x}^{2}}{lnx+x}$，
h′（x）=$\frac{x（x-1）+2xlnx}{{（lnx+x）}^{2}}$，
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，x（x-1）＜0，2xlnx＜0，h′（x）＜0，
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，x（x-1）＞0，2xlnx＞0，h'（x）＞0，
∴h（x）在（x₀，1）上遞減，（1，+∞）上遞增．
∴h（x）_min=h（1）=1，
當(dāng)x∈（x₀，1）時(shí)，h（x）∈（1，+∞），
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，h（x）∈（1，+∞），
要使m=$\frac{{x}^{2}}{lnx+x}$有唯一解，應(yīng)有m=h（1）=1，
∴m=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，考查分離參數(shù)法的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．