Question

2．設a≥0，b≥0，且a≠b，求證：對于任意正數p都有[$\frac{a+pb}{p+1}$]²＜$\frac{{a}^{2}+p^{2}}{p+1}$．

Answer 1

分析 由a≥0，b≥0，且a≠b，p＞0，作差可得[$\frac{a+pb}{p+1}$]²-$\frac{{a}^{2}+p^{2}}{p+1}$=-$\frac{p}{（p+1）^{2}}$（a-b）²＜0，即可得證．

解答 證明：由a≥0，b≥0，且a≠b，p＞0，
可得[$\frac{a+pb}{p+1}$]²-$\frac{{a}^{2}+p^{2}}{p+1}$=$\frac{{a}^{2}+{p}^{2}^{2}+2abp-（p+1）（{a}^{2}+p^{2}）}{（p+1）^{2}}$
=$\frac{1}{（p+1）^{2}}$（a²+p²b²+2abp-a²-pb²-pa²-p²b²）
=$\frac{1}{（p+1）^{2}}$（2abp-pb²-pa²）
=-$\frac{p}{（p+1）^{2}}$（a-b）²＜0，
即有對于任意正數p都有[$\frac{a+pb}{p+1}$]²＜$\frac{{a}^{2}+p^{2}}{p+1}$．

點評 本題考查不等式的證明，注意運用作差比較法，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．