Question

17．設雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線與拋物線y²=4x的準線的一個交點的縱坐標為y₀，若|y₀|＜2，則雙曲線C的離心率的取值范圍是（　　）

• A． （1，$\sqrt{3}$）
• B． （1，$\sqrt{5}$）
• C． （$\sqrt{3}$，+∞）
• D． （$\sqrt{5}$，+∞）

Answer 1

分析 求出拋物線的準線方程，求出交點坐標，代入雙曲線的漸近線方程，利用|y₀|＜2，即可求出雙曲線的離心率的范圍．

解答 解：拋物線y²=4x的準線為：x=-1，雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線與拋物線y²=4x的準線的一個交點（-1，y₀），可得：$\frac{1}{a}=\frac{{y}_{0}}$，
即：$\frac{^{2}}{{a}^{2}}={{y}_{0}}^{2}$，e²-1=y₀²．|y₀|＜2，
e²=1+y₀²∈[1，5），∵e＞1，
∴e∈（1，$\sqrt{5}$）．
故選：B．

點評 本題考查拋物線與雙曲線的簡單性質的綜合應用，考查計算能力．