Question

17．如圖，已知直線l與拋物線x²=4y相切于點P（2，1），且與x軸交于點A，定點B的坐標為（2，0）．
（Ⅰ）若動點Q滿足$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BQ}$+$\sqrt{2}$|$\overrightarrow{AQ}$|=0，求點Q的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓Γ的中心在原點，對稱軸在坐標軸上，直線l：y=kx+t（k≠0，t≠0）與軌跡C交于M，N兩點，且與橢圓Γ交于H，K兩點．若線段MN與線段HK的中點重合，求橢圓Γ的離心率．

Answer 1

分析 （I）對拋物線方程進行求導，求得直線l的斜率，設(shè)出Q的坐標，利用$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BQ}$+$\sqrt{2}$|$\overrightarrow{AQ}$|=0求得x和y的關(guān)系．
（II）設(shè)橢圓E的方程，根據(jù)M，N在橢圓C上，設(shè)點的坐標，代入兩式相減并恒等變形得斜率，同理由H，K在橢圓E上，得斜率，利用弦AB的中點與弦HK的中點重合，建立方程，從而可得橢圓E的離心率，即可得到結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）由x²=4y得y=$\frac{1}{4}{x}^{2}$，∴y′=$\frac{1}{2}$x．
∴直線l的斜率為y′|_x=2=1，
故l的方程為y=x-1，∴點A的坐標為（1，0）．
設(shè)Q（x，y），則$\overrightarrow{AB}$=（1，0），$\overrightarrow{BQ}$=（x-2，y），$\overrightarrow{AQ}$=（x-1，y），
由$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BQ}$+$\sqrt{2}$|$\overrightarrow{AQ}$|=0，
整理，得$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$．．
（II）設(shè)橢圓Γ的方程為$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}=1$（m＞0，n＞0，m≠n），并設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），H（x₃，y₃），K（x₄，y₄）．
∵M，N在橢圓C上，
∴x₁²+2y₁²=2，且x₂²+2y₂²=2，兩式相減并恒等變形得k=-2×$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$．
由H，K在橢圓E上，仿前述方法可得k=-$\frac{{m}^{2}{x}_{3}+{x}_{4}}{{n}^{2}{y}_{3}+{y}_{4}}$．
∵弦AB的中點與弦HK的中點重合，∴m²=2n²，
求得橢圓E的離心率e=$\frac{\sqrt{{m}^{2}-{n}^{2}}}{m}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題主要考查橢圓的標準方程、圓錐曲線的性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查分類整合思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸轉(zhuǎn)化思想等．