Question

11．若$\overrightarrow{m}=（-sinx+1，t）$，$\overrightarrow{n}=（sinx，1）$，f（x）=$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$．
（1）若t=2，且x∈[0，2π]，求使得f（x）=0的x的值；
（2）若f（x）=0，有實數(shù)解，求實數(shù)t的取值范圍；
（3）若1$≤f（x）≤\frac{17}{4}$對一切x∈R恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由條件利用兩個向量的數(shù)量積公式，求得f（x）的解析式．由f（x）=0可得sinx=-1，再結(jié)合x∈[0，2π]，可得x的值．
（2）由題意可得 t=${（sinx-\frac{1}{2}）}^{2}$-$\frac{1}{4}$．再根據(jù)sinx∈[-1，1]，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得t的范圍．
（3）若1$≤f（x）≤\frac{17}{4}$對一切x∈R恒成立，則f（x）∈[1，$\frac{17}{4}$]．求得f（x）的最大值和最小值，可得t的范圍．

解答 解：（1）f（x）=$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=sinx-sin²x+t=-${（sinx-\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{1}{4}$+t，
∵t=2，∴f（x）=-${（sinx-\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{9}{4}$．
由f（x）=0可得sinx=-1，再結(jié)合x∈[0，2π]，可得x=$\frac{3π}{2}$．
（2）f（x）=0有實數(shù)解，則-${（sinx-\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{1}{4}$+t=0有解，即 t=${（sinx-\frac{1}{2}）}^{2}$-$\frac{1}{4}$．
再根據(jù)sinx∈[-1，1]，可得t∈[-$\frac{1}{4}$，2]．
（3）若1$≤f（x）≤\frac{17}{4}$對一切x∈R恒成立，則f（x）∈[1，$\frac{17}{4}$]．
由于f（x）的最大值為$\frac{1}{4}$+t，最小值為t-2，∴$\frac{1}{4}$+t≤$\frac{17}{4}$，且 t-2≥1，
求得 3≤t≤4．

點(diǎn)評 本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式，二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的恒成立問題，屬于中檔題．