Question

15．已知關于x的方程5x²+x+m=0的兩根為sinθ，cosθ，
（1）求$\frac{{2{{sin}^2}θ-1}}{sinθ-cosθ}$的值；
（2）求m的值；
（3）若θ為△ABC的一個內角，求tanθ的值，并判斷△ABC的形狀．

Answer 1

分析 （1）利用韋達定理，同角三角函數(shù)的基本關系，二倍角的余弦公式，求得$\frac{{2{{sin}^2}θ-1}}{sinθ-cosθ}$的值．
（2）由條件利用韋達定理、同角三角函數(shù)的基本關系，求得m的值．
（3）利用同角三角函數(shù)的基本關系，求得sinθ和cosθ的值，可得tanθ的值，由此判斷△ABC的形狀．

解答 解：（1）∵關于x的方程5x²+x+m=0的兩根為sinθ，cosθ，∴sinθ+cosθ=-$\frac{1}{5}$，sinθ•cosθ=$\frac{m}{5}$．
∴$\frac{{2{{sin}^2}θ-1}}{sinθ-cosθ}$=$\frac{-cos2θ}{sinθ-cosθ}$=-$\frac{（cosθ+sinθ）•（cosθ-sinθ）}{sinθ-cosθ}$=sinθ+cosθ=-$\frac{1}{5}$．
（2）∵由（1）可得sinθ+cosθ=-$\frac{1}{5}$，平方可得1+2sinθcosθ=1+$\frac{2m}{5}$=$\frac{1}{25}$，∴m=-$\frac{12}{5}$．
（3）若θ為△ABC的一個內角，∵sinθ+cosθ=-$\frac{1}{5}$，sinθ•cosθ=-$\frac{12}{25}$，∴sinθ=$\frac{3}{5}$，cosθ=-$\frac{4}{5}$，
∴tanθ=$\frac{sinθ}{cosθ}$=-$\frac{3}{4}$，∴θ為鈍角，故△ABC是鈍角三角形．

點評 本題主要考查韋達定理，同角三角函數(shù)的基本關系，二倍角的余弦公式的應用，屬于中檔題．