Question

10．已知f（x）為R上增函數(shù)，且對(duì)任意x∈R，都有f[f（x）-3^x]=4，則f（log₃9）=10．

Answer 1

分析 根據(jù)題意可得f（x）-3^x是常數(shù)，設(shè)f（x）-3^x=m，所以f（m）=4，f（x）=3^x+m，故f（m）=3^m+m=4，容易知道該方程有唯一解，m=1，所以f（x）=3^x+1，由此求得f（log₃5）的值．

解答 解：f（x）為R上增函數(shù)，且對(duì)任意x∈R，都有f[f（x）-3^x]=4，
則f（x）-3^x為常數(shù)，設(shè)f（x）-3^x=m，則f（m）=4，且f（x）=3^x+m；
∴3^m+m=4，易知該方程有唯一解，m=1；
∴f（x）=3^x+1；
∴f（log₃9）=9+1=10，即f（log₃9）=10，
故答案為：10．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查求函數(shù)的解析式的方法，對(duì)于單調(diào)函數(shù)，當(dāng)自變量的值是變量時(shí)，函數(shù)值也是變量，考查單調(diào)函數(shù)零點(diǎn)的情況，屬于中檔題．