Question

2．已知x，y，z均為正數(shù)，且x²+4y²+z²=3
（1）證明：x+2y+z≤3；
（2）求2xy+2yz+zx的最大值．

Answer 1

分析 （1）由x，y，z均為正數(shù)，且x²+4y²+z²=3，運(yùn)用柯西不等式和不等式的性質(zhì)，即可得證；
（2）由x，y，z均為正數(shù)，且x²+4y²+z²=3，運(yùn)用柯西不等式可得（2xy+2yz+zx）²≤（x²+4y²+z²）（4y²+z²+x²），即可求得最大值．

解答 解：（1）證明：由x，y，z均為正數(shù)，且x²+4y²+z²=3，
可得（x+2y+z）²≤（x²+4y²+z²）（1+1+1）=9，
可得x+2y+z≤3，當(dāng)且僅當(dāng)x=2y=z=1時(shí)，等號(hào)成立；
（2）x，y，z均為正數(shù)，且x²+4y²+z²=3，可得
（2xy+2yz+zx）²≤（x²+4y²+z²）（4y²+z²+x²）=9，
可得2xy+2yz+zx≤3，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{x}{2y}=\frac{2y}{z}=\frac{z}{x}$即x=2y=z=1時(shí)，取得最大值3..

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明和最值的求法，注意運(yùn)用柯西不等式和不等式的性質(zhì)，考查推理和運(yùn)算能力，屬于中檔題．