Question

19．為了整頓電動車秩序，海口市考慮將對電動車闖紅燈進行處罰．為了更好地了解情況，在騎車人中隨機選取了200人進行調查，得到如表數據：

處罰金額x（單位：元）	0	5	10	15	20
會闖紅燈的人數y	80	50	40	20	10

（Ⅰ）現用以上數據所得頻率約等于概率，若處罰10元和20元時，電動車闖紅燈的概率差是多少？
（Ⅱ）如果從5種處罰金額中隨機抽取2種不同的金額進行處罰．
①求這兩種金額之和不低于20元的概率；
②若用X表示這兩種金額之和，求X的數學期望和分布列．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由條件利用等可能事件概率計算公式能求出處罰10元會闖紅燈的概率與處罰20元會闖紅燈的概率的差．
（Ⅱ）①設“兩種金額之和不低于20元”的事件為A，從5種金額中隨機抽取2種，總的抽選方法共有$C_3^2=10$種，滿足金額之和不低于20元的有6種，由此能求出這兩種金額之和不低于20元的概率．
②根據條件，X的可能取值為5，10，15，20，25，30，35，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列和期望．

解答 解：（Ⅰ）由條件可知，處罰10元會闖紅燈的概率與處罰20元會闖紅燈的概率的差是：$\frac{40}{200}-\frac{10}{200}=\frac{3}{20}$…（4分）
（Ⅱ）①設“兩種金額之和不低于20元”的事件為A，
從5種金額中隨機抽取2種，總的抽選方法共有$C_5^2=10$種，
滿足金額之和不低于20元的有6種，
故這兩種金額之和不低于20元的概率為$P（A）=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$…（8分）
②根據條件，X的可能取值為5，10，15，20，25，30，35，
P（X=5）=$\frac{1}{10}$，P（X=10）=$\frac{1}{10}$，
P（X=15）=$\frac{1}{5}$，P（X=20）=$\frac{1}{5}$，
P（X=25）=$\frac{1}{5}$，P（X=30）=$\frac{1}{10}$，
P（X=35）=$\frac{1}{10}$，
∴X的分布列為：

X	5	10	15	20	25	30	35
P（X）	$\frac{1}{10}$	$\frac{1}{10}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{1}{10}$	$\frac{1}{10}$

$EX=5×\frac{1}{10}+10×\frac{1}{10}+15×\frac{1}{5}+20×\frac{1}{5}+25×\frac{1}{5}+30×\frac{1}{10}+35×\frac{1}{10}=20$．…（12分）

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意等可能事件概率計算公式的合理運用．