Question

7．2014年12月初，南京查獲了一批問題牛肉，滁州市食藥監(jiān)局經(jīng)民眾舉報(bào)獲知某地6個(gè)儲存牛肉的冷庫有1個(gè)冷庫牛肉被病毒感染，需要通過對庫存牛肉抽樣化驗(yàn)病毒DNA來確定感染牛肉，以免民眾食用有損身體健康．下面是兩種化驗(yàn)方案：
方案甲：逐個(gè)化驗(yàn)樣品，直到能確定感染冷庫為止．
方案乙：將樣品分為兩組，每組三個(gè)，并將它們混合在一起化驗(yàn)，若存在病毒DNA，則表明感染牛肉在這三個(gè)樣品當(dāng)中，然后逐個(gè)化驗(yàn)，直到確定感染冷庫為止；若結(jié)果不含病毒DNA，則在另外一組樣品中逐個(gè)進(jìn)行化驗(yàn)．
（1）求依據(jù)方案乙所需化驗(yàn)恰好為2次的概率．
（2）首次化驗(yàn)化驗(yàn)費(fèi)為10元，第二次化驗(yàn)化驗(yàn)費(fèi)為8元，第三次及其以后每次化驗(yàn)費(fèi)都是6元，列出方案甲所需化驗(yàn)費(fèi)用的分布列，并估計(jì)用方案甲平均需要化驗(yàn)費(fèi)多少元？
（3）試比較兩種方案，估計(jì)哪種方案有利于盡快查找到感染冷庫．說明理由．

Answer 1

分析 （1）方案乙中所需化驗(yàn)次數(shù)恰好為2次的事件有兩種情況：第一種，先化驗(yàn)一組，結(jié)果不含病毒DNA，再從另一組任取一個(gè)樣品進(jìn)行化驗(yàn)；第二種，先化驗(yàn)一組，結(jié)果含有病毒DNA，再從中逐個(gè)化驗(yàn)，
恰第一個(gè)樣品含有病毒．由此能求出依據(jù)方案乙所需化驗(yàn)恰好為2次的概率．
（2）設(shè)方案甲化驗(yàn)的次數(shù)為ξ，則ξ可能的取值為1，2，3，4，5，對應(yīng)的化驗(yàn)費(fèi)為η元，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出方案甲所需化驗(yàn)費(fèi)用的分布列，并估計(jì)用方案甲平均需要化驗(yàn)費(fèi)多少元．
（3）由（2）知方案甲平均化驗(yàn)次數(shù)為E（ξ）=$\frac{10}{3}$，設(shè)方案乙化驗(yàn)的次數(shù)為?，則?可能的取值為2，3，P（?=2）=$\frac{1}{3}$，P（?=3）=$\frac{2}{3}$，由此能求出方案乙化驗(yàn)次數(shù)的期望值較小，可以盡快查找到感染冷庫．

解答 解：（1）方案乙中所需化驗(yàn)次數(shù)恰好為2次的事件有兩種情況：
第一種，先化驗(yàn)一組，結(jié)果不含病毒DNA，再從另一組任取一個(gè)樣品進(jìn)行化驗(yàn)，
則恰含有病毒的概率為$\frac{{C}_{5}^{2}}{{C}_{6}^{3}}×\frac{1}{{C}_{3}^{1}}$=$\frac{1}{6}$．
第二種，先化驗(yàn)一組，結(jié)果含有病毒DNA，再從中逐個(gè)化驗(yàn)，
恰第一個(gè)樣品含有病毒的概率為$\frac{{C}_{5}^{2}}{{C}_{6}^{3}}×\frac{1}{{C}_{3}^{1}}$=$\frac{1}{6}$．
∴依據(jù)方案乙所需化驗(yàn)恰好為2次的概率為$\frac{1}{6}+\frac{1}{6}$=$\frac{1}{3}$．
（2）設(shè)方案甲化驗(yàn)的次數(shù)為ξ，則ξ可能的取值為1，2，3，4，5，對應(yīng)的化驗(yàn)費(fèi)為η元，
P（ξ=1）=P（η=10）=$\frac{1}{6}$，
P（ξ=2）=P（η=18）=$\frac{5}{6}×\frac{1}{5}$=$\frac{1}{6}$，
P（ξ=3）=P（η=24）=$\frac{5}{6}×\frac{4}{5}×\frac{1}{4}$=$\frac{1}{6}$，
P（ξ=4）=P（η=30）=$\frac{5}{6}×\frac{4}{5}×\frac{3}{4}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{6}$，
P（ξ=5）=P（η=36）=$\frac{5}{6}×\frac{4}{5}×\frac{3}{4}×\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$，
∴方案甲所需化驗(yàn)費(fèi)用η的分布列為：

η	10	18	24	30	36
P	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{3}$

用方案甲平均需要化驗(yàn)費(fèi)E（η）=$10×\frac{1}{6}+18×\frac{1}{6}+24×\frac{1}{6}+30×\frac{1}{6}+36×\frac{1}{3}$=$\frac{77}{3}$（元）．
（3）由（2）知方案甲平均化驗(yàn)次數(shù)為E（ξ）=$1×\frac{1}{6}+2×\frac{1}{6}+3×\frac{1}{6}+4×\frac{1}{6}+5×\frac{1}{3}$=$\frac{10}{3}$，
設(shè)方案乙化驗(yàn)的次數(shù)為?，則?可能的取值為2，3，
P（?=2）=$\frac{1}{3}$，P（?=3）=1-$\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$，
∴E（?）=$2×\frac{1}{3}+3×\frac{2}{3}$=$\frac{8}{3}$，
∴E（ξ）＞E（?），
∴方案乙化驗(yàn)次數(shù)的期望值較小，可以盡快查找到感染冷庫．

點(diǎn)評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意相互獨(dú)立事件概率乘法公式的合理運(yùn)用．