Question

3．已知等差數(shù)列{a_n}中，公差d＞0，前n項(xiàng)和為S_n，若a₂+3，a₃+3，a₄+5這三項(xiàng)成等比數(shù)列，且滿(mǎn)足a₁+a₅=18．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）另b_n=$\frac{{S}_{n}}{n+c}$（n∈N^*），是否存在非零常數(shù)c，使數(shù)列{b_n}也為等差數(shù)列？若存在，求出c的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）利用等差中項(xiàng)可知a₁+a₅=2a₃=18即a₃=9，通過(guò)a₂+3、a₃+3、a₄+5這三項(xiàng)成等比數(shù)列計(jì)算可知公差，利用a_n=a₃+（n-3）d計(jì)算即得結(jié)論；
（2）通過(guò)a_n=4n-3可知S_n=n（2n-1），進(jìn)而b_n=$\frac{n（2n-1）}{n+c}$，依題意只需c=$-\frac{1}{2}$即可．

解答 解：（1）∵a₁+a₅=2a₁+4d=2a₃=18，
∴a₃=9，
∵a₂+3，a₃+3，a₄+5這三項(xiàng)成等比數(shù)列，
∴$（{a}_{3}+3）^{2}$=（a₂+3）（a₄+5），
∴（9+3）²=（9-d+3）（9+d+5），
整理得：d²+2d-24=0，
解得：d=4或d=-6（舍），
∴a_n=a₃+（n-3）d=4n-3；
（2）結(jié)論：存在c=$-\frac{1}{2}$使數(shù)列{b_n}是公差為2的等差數(shù)列．
理由如下：
∵a_n=4n-3，
∴S_n=$\frac{n（1+4n-3）}{2}$=n（2n-1），
∴b_n=$\frac{{S}_{n}}{n+c}$=$\frac{n（2n-1）}{n+c}$（n∈N^*），
∵c≠0，∴當(dāng)c=$-\frac{1}{2}$時(shí)b_n=2n，且b_n+1-b_n=2（n+1）-2n=2，
即此時(shí)符合等差數(shù)列的定義，
∴存在c=$-\frac{1}{2}$使數(shù)列{b_n}是公差為2的等差數(shù)列．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，注意解題方法的積累，屬于中檔題．