【題目】已知函數(shù)
(1)當m=1時,求證:對x∈[0,+∞)時,f(x)≥0;
(2)當m≤1時,討論函數(shù)f(x)零點的個數(shù).

【答案】
(1)證明:當m=1時, ,則f'(x)=ex﹣x﹣1,

令g(x)=ex﹣x﹣1,則g'(x)=ex﹣1,當x≥0時,ex﹣1≥0,即g'(x)≥0,

所以函數(shù)f'(x)=ex﹣x﹣1在[0,+∞)上為增函數(shù),

即當x≥0時,f'(x)≥f'(0),所以當x≥0時,f'(x)≥0恒成立,

所以函數(shù) ,在[0,+∞)上為增函數(shù),又因為f(0)=0,

所以當m=1時,對x∈[0,+∞),f(x)≥0恒成立


(2)解:由(1)知,當x≤0時,ex﹣1≤0,所以g'(x)≤0,所以函數(shù)f'(x)=ex﹣x﹣1的減區(qū)間為(﹣∞,0],增區(qū)間為[0,+∞).所以f'(x)min=f'(0)=0,所以對x∈R,f'(x)≥0,即ex≥x+1.

①當x≥﹣1時,x+1≥0,又m≤1,∴m(x+1)≤x+1,∴ex﹣m(x+1)≥ex﹣(x+1)≥0,即f'(x)≥0,所以當x≥﹣1時,函數(shù)f(x)為增函數(shù),又f(0)=0,所以當x>0時,f(x)>0,當﹣1≤x<0時,f(x)<0,所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[﹣1,+∞)上有且僅有一個零點,且為0.

②當x<﹣1時,(。┊0≤m≤1時,﹣m(x+1)≥0,ex>0,所以f'(x)=ex﹣m(x+1)>0,

所以函數(shù)f(x)在(﹣∞,﹣1)上遞增,所以f(x)<f(﹣1),且 ,

故0≤m≤1時,函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(﹣∞,﹣1)上無零點.

(ⅱ)當m<0時,f'(x)=ex﹣mx﹣m,令h(x)=ex﹣mx﹣m,則h'(x)=ex﹣m>0,

所以函數(shù)f'(x)=ex﹣mx﹣m在(﹣∞,﹣1)上單調(diào)遞增,f'(﹣1)=e1>0,

時, ,又曲線f'(x)在區(qū)間 上不間斷,

所以x0 ,使f'(x0)=0,

故當x∈(x0,﹣1)時,0=f'(x0)<f'(x)<f'(﹣1)=e1,

當x∈(﹣∞,x0)時,f'(x)<f'(x0)=0,

所以函數(shù) 的減區(qū)間為(﹣∞,x0),增區(qū)間為(x0,﹣1),

,所以對x∈[x0,﹣1),f(x)<0,

又當 時, ,∴f(x)>0,

又f(x0)<0,曲線 在區(qū)間 上不間斷.

所以x1∈(﹣∞,x0),且唯一實數(shù)x1,使得f(x1)=0,

綜上,當0≤m≤1時,函數(shù)y=f(x)有且僅有一個零點;當m<0時,函數(shù)y=f(x)有個兩零點


【解析】(1)當m=1時, ,則f'(x)=ex﹣x﹣1,令g(x)=ex﹣x﹣1,利用導數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值,可得函數(shù)f'(x)=ex﹣x﹣1在[0,+∞)上為增函數(shù),即當x≥0時,f'(x)≥f'(0)=0,可得函數(shù)f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù),即可證明.(2)由(1)知,當x≤0時,ex﹣1≤0,所以g'(x)≤0,可得ex≥x+1.①當x≥﹣1時,x+1≥0,又m≤1,m(x+1)≤x+1,可得ex﹣m(x+1)≥0,即f'(x)≥0,可得:函數(shù)f(x)在區(qū)間[﹣1,+∞)上有且僅有一個零點,且為0.②當x<﹣1時,(。┊0≤m≤1時,﹣m(x+1)≥0,ex>0,可得f'(x)=ex﹣m(x+1)>0,函數(shù)f(x)在(﹣∞,﹣1)上遞增,函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(﹣∞,﹣1)上無零點. (ⅱ)當m<0時,f'(x)=ex﹣mx﹣m,令h(x)=ex﹣mx﹣m,則h'(x)>0,函數(shù)f'(x)=ex﹣mx﹣m在(﹣∞,﹣1)上單調(diào)遞增,f'(﹣1)=e1>0,可得函數(shù)存在兩個零點.

練習冊系列答案
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1)若從10名購物者中隨機抽取2名,其中男、女各一名,求至少1名傾向于選擇實體店的概率;

(2)若從這10名購物者中隨機抽取3名,設(shè)X表示抽到傾向于選擇網(wǎng)購的男性購物者的人數(shù),求X的分布列和數(shù)學期望.

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年齡(歲)

[15,25)

[25,35)

[35,45)

[45,55)

[55,60)

頻數(shù)

10

10

10

10

10

贊成人數(shù)

3

5

6

7

9


(1)世界聯(lián)合國衛(wèi)生組織規(guī)定:[15,45)歲為青年,(45,60)為中年,根據(jù)以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫以下2×2列聯(lián)表:

青年人

中年人

合計

不贊成

贊成

合計


(2)判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下,認為贊成“車柄限行”與年齡有關(guān)? 附: ,其中n=a+b+c+d
獨立檢驗臨界值表:

P(K2≥k)

0.100

0.050

0.025

0.010

k0

2.706

3.841

5.024

6.635


(3)若從年齡[15,25),[25,35)的被調(diào)查中各隨機選取1人進行調(diào)查,設(shè)選中的兩人中持不贊成“車輛限行”態(tài)度的人員為ξ,求隨機變量ξ的分布列和數(shù)學期望Eξ.

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【題目】參與舒城中學數(shù)學選修課的同學對某公司的一種產(chǎn)品銷量與價格進行了統(tǒng)計,得到如下數(shù)據(jù)和散點圖.

定價x(元/千克)

10

20

30

40

50

60

年銷量y(千克)

1150

643

424

262

165

86

z=2 ln y

14.1

12.9

12.1

11.1

10.2

8.9

參考數(shù)據(jù):

.

(1)根據(jù)散點圖判斷yx,zx哪一對具有較強的線性相關(guān)性(給出判斷即可,不必說明理由)?

(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及數(shù)據(jù),建立y關(guān)于x的回歸方程(方程中的系數(shù)均保留兩位有效數(shù)字).

(3)當定價為150/千克時,試估計年銷量.

:對于一組數(shù)據(jù)(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),…,(xn,yn),其回歸直線x+的斜率和截距的最

小二乘估計分別為

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②函數(shù)f(x)是偶函數(shù);
③任意一個非零有理數(shù)T,f(x+T)=f(x)對任意x∈R恒成立;
④存在三個點A(x1 , f(x1)),B(x2 , f(x2)),C(x3 , f(x3)),使得△ABC為等邊三角形.
其中真命題的個數(shù)是(
A.4
B.3
C.2
D.1

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