Question

6．一個袋中有若干個大小相同的黑球、白球和紅球．已知從袋中任意摸出1個球，得到黑球的概率是$\frac{2}{5}$；從袋中任意摸出2個球，至少得到1個白球的概率是$\frac{7}{9}$．
（Ⅰ）若袋中共有10個球，
（i）求白球的個數(shù)；
（ii）從袋中任意摸出3個球，記得到白球的個數(shù)為ξ，求隨機變量ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ．
（Ⅱ）求證：從袋中任意摸出2個球，至少得到1個黑球的概率不大于$\frac{7}{10}$．并指出袋中哪種顏色的球個數(shù)最少．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)袋中白球個數(shù)為x，由對立事件概率計算公式得：1-$\frac{{C}_{10-x}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{7}{9}$，由此能求出白球個數(shù)．
（ii）隨機變量ξ的取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機變量ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ
（Ⅱ）設(shè)袋中有n個球，其中y個黑球，由題意，得y=$\frac{2}{5}$n，從而2y＜n，2y≤n-1，進而$\frac{y}{n-1}≤\frac{1}{2}$，由此能證明從袋中任意摸出2個球，至少得到1個黑球的概率不大于$\frac{7}{10}$．并得到袋中哪種顏色的球個數(shù)最少．

解答 解：（Ⅰ）（i）記“從袋中任意摸出2個球，至少得到1個白球”為事件A，
設(shè)袋中白球個數(shù)為x，則P（A）=1-$\frac{{C}_{10-x}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{7}{9}$，
解得x=5，∴白球個數(shù)是5個．
（ii）隨機變量ξ的取值為0，1，2，3，
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{5}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{10}{120}$=$\frac{1}{12}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{5}^{1}{C}_{5}^{2}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{50}{120}=\frac{5}{12}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{5}^{2}{C}_{5}^{1}}{{C}_{10}^{3}}=\frac{50}{120}=\frac{5}{12}$，
P（ξ=3）=$\frac{{C}_{5}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{10}{120}=\frac{1}{12}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{12}$	$\frac{5}{12}$	$\frac{5}{12}$	$\frac{1}{12}$

Eξ=$\frac{1}{12}×0+\frac{5}{12}×1+\frac{5}{12}×2+\frac{1}{12}×3$=$\frac{3}{2}$．
證明：（Ⅱ）設(shè)袋中有n個球，其中y個黑球，
由題意，得y=$\frac{2}{5}$n，
∴2y＜n，2y≤n-1，
∴$\frac{y}{n-1}≤\frac{1}{2}$，
記“從袋中任意取出兩個球，至少有1個黑球”為事件B，
則P（B）=$\frac{2}{5}+\frac{3}{5}×\frac{y}{n-1}≤\frac{2}{5}+\frac{3}{5}×\frac{1}{2}=\frac{7}{10}$，
∴白球的個數(shù)比黑球多，白球個數(shù)多于$\frac{2}{5}n$，黑球個數(shù)少于$\frac{2}{5}n$，
故袋中紅球個數(shù)最少．

點評 本題考查排列組合、對立事件、相互獨立事件的概率和隨機變量分布列和數(shù)學(xué)期望等概念，同時考查學(xué)生的邏輯思維能力和分析問題及解決問題的能力．