Question

15．已知數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，數(shù)列{b_n}滿足b_n=a_n+n，若b₂，b₅，b₁₁成等比數(shù)列，且b₃=a₆．
（1）求a_n，b_n；
（2）求數(shù)列{$\frac{1}{a_nb_n}$}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（2）$\frac{1}{a_nb_n}$=$\frac{1}{（n+2）（2n+2）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$，利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答 解：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，則a_n=a₁+（n-1）d，b_n=a₁+（n-1）d+n，
∵b₂，b₅，b₁₁成等比數(shù)列，且b₃=a₆．
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+2d+3={a}_{1}+5d}\\{（{a}_{1}+4d+5）^{2}=（{a}_{1}+d+2）（{a}_{1}+10d+11）}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=3}\\{d=1}\end{array}\right.$．
于是a_n=n+2，b_n=2n+2．
（2）$\frac{1}{a_nb_n}$=$\frac{1}{（n+2）（2n+2）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$．
∴S_n=$\frac{1}{2}[（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）$+…+$（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）]$
=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}）$
=$\frac{n}{4n+8}$．

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)求和”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．