Question

4．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₁=1，a₂=3，S_n+1+3S_n-1=4S_n（n≥2）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式：
（2）若b_n=（n-1）a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）S_n+1-S_n=3S_n-3S_n-1，即有a_n+1=3a_n，再由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得到所求；
（2）b_n=（n-1）a_n=（n-1）•3^n-1，運(yùn)用數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，化簡(jiǎn)即可得到所求．

解答 解：（1）a₁=1，a₂=3，S_n+1+3S_n-1=4S_n（n≥2），
即有S_n+1-S_n=3S_n-3S_n-1，
即有a_n+1=3a_n，
又1+3+a₃+3=4（1+3），解得a₃=9，
則a_n=a₁•q^n-1=3^n-1；
（2）b_n=（n-1）a_n=（n-1）•3^n-1，
數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=0+1•3+2•3²+3•3³+…+（n-1）•3^n-1，
3T_n=0+1•3²+2•3³+3•3⁴+…+（n-1）•3ⁿ，
相減可得，-2T_n=0+3+3²+3³+…+3^n-1-（n-1）•3ⁿ
=$\frac{3（1-{3}^{n-1}）}{1-3}$-（n-1）•3ⁿ，
化簡(jiǎn)可得T_n=$\frac{3-（3-2n）•{3}^{n}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，注意運(yùn)用相減法和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，同時(shí)考查數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，屬于中檔題．